Superficie de nivel y curvas en ℜ³ (segunda parte)

Vector tangente

Definición:

Dada C ⊂ ℜⁿ (C curva de ℜⁿ) una curva regular, entonces el vector g'(t₀) es tangente a la curva en el punto g(t₀) siendo x = g(t), t ⊂ A, la ecuación vectorial de la curva, y t₀ ⊂ A.

Nota: estamos con una sola variable.

Recta tangente

La curva se confunde con la recta tangente en el punto dado. En ℜ² y en ℜ³: x = λ g' + g(t₀), λ ⊂ ℜ

Plano normal en ℜ³

Ecuación vectorial:

g'(t₀)·(x - g(t₀)) = 0

g1'(t₀)·(x - g1(t₀)) + g2'(t₀)·(y - g2(t₀)) + g3'(t₀)·(z - g3(t₀)) = 0

Gradiente:

Se define solo para campos escalares, F A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ

Grad(F)(x₀) = ∇F(x₀) = [∂F(x₀)/∂x₁, ∂F(x₀)/∂x₂, …, ∂F(x₀)/∂xₙ,]

Dom (∇F) = dom (F'ₓ₁) ∩ dom (F'ₓ₂) ∩ … dom (F'ₓₙ) ⊂ dom (F)

∇F:B ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜⁿ

Derivadas de orden superior (parciales)

Definiciones:

Dada F:A ⊂ ℜ² ⟶ ℜ, F ⊂ C² (clase 2), se define:

Las derivadas que tienen las mismas letras son iguales: F‴_xxy = F‴_xyx = F‴_yxx

Dominios:

Dom (F'ₓ) ⊂ Dom (F)

Dom (F'_y) ⊂ Dom (F)

Dom (F"_yx) ⊂ Dom (F'ₓ) ⊂ Dom (F)

Dom (F"_yx) ⊂ Dom (F'_y) ⊂ Dom (F)

Teorema de Schwartz

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, x₀ ⊂ A, entonces si ∃ F"_xy(x) ∀ x ⊂ E(x₀) y F"_yx(x) ∀ x ⊂ E(x₀) y F"_xy contínua en E(x₀) y F"_yx contínua en E(x₀), debe ser F"_xy (x₀) = F"_yx (x₀)

Generalmente pasa para funciones continuas

Extensión a mayor orden

Tomo F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, suponemos derivadas parciales de cualquier orden continuas.

Entonces:

a) Por el teorema de Schwartz ⇒ F"_xy = F"_yx
Luego F‴_xyx = F‴_yxx, por ser la derivada de la misma función.

b) Tomamos F'ₓ, por teorema de Schwartz F‴_xxy = F‴_xyx

c) Finalmente, por a y b resulta: F‴_xxy = F‴_xyx = F‴_yxx

Ejemplo nº 4

F(x, y) = eˣ˙ʸ

F'ₓ = y·eˣ˙ʸ

F'_y = x·eˣ˙ʸ

F"ₓₓ = y²·eˣ˙ʸ

F"_yy = x²·eˣ˙ʸ

F"_xy = eˣ˙ʸ + y·x·eˣ˙ʸ

F"_yx = eˣ˙ʸ + x·y·eˣ˙ʸ

F‴_xxy = 2·y·eˣ˙ʸ + y²·x·eˣ˙ʸ

F‴_xyx = 2·y·eˣ˙ʸ + y²·x·eˣ˙ʸ

F‴_yxx = 2·y·eˣ˙ʸ + y²·x·eˣ˙ʸ

Diferenciabilidad:

Definición:

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜⁿ, x₀ ⊂ A, A abierto, se dice que F es diferenciable en x₀ si ∃ D(x₀) ⊂ ℜ^m×n tal que:

F'((a, b), ř) = ∇F(a, b)·ř (Si F es diferenciable)

Propiedades:

F es F, G es G y x₀ es x₀

1) F y G diferenciables en x₀ ⇒ F + G diferenciables en x₀

2) F diferenciable en x₀ ⇒ λ F diferenciable en x₀

3) F y G diferenciables en x₀ ⇒ FG diferenciable en x₀

4) F diferenciable en x₀ y F(x₀) ≠ 0 ⇒ 1/F diferenciable en x₀

5) F diferenciable en x₀ y g diferenciable en F(x₀) ⇒ g₀F diferenciable en x₀

6) F diferenciable en x₀ ⇔ Fᵢ diferenciable en x₀, 1 ≤ i ≤ m

Teorema:

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ, A abierto, x₀ ⊂ A, tal que F es diferenciable en x₀, entonces F es contínua en x₀

Corolario:

Si F no es contínua en x₀ ⇒ F no es diferenciable en x₀

Teorema:

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ, A abierto, x₀ ⊂ A, tal que F es diferenciable en x₀, entonces ∃ F'(x₀, ř), ∀ ř ⊂ ℜⁿ (existe la derivada en cualquier dirección).

Corolario:

1) Si para algún ř ⊂ ℜⁿ no ∃ F'(x₀, ř) ⇒ F no es diferenciable en x₀

2) Si para algún ř ⊂ ℜⁿ ∃ F'(x₀, ř) pero F'(x₀, ř) ≠ dF(x₀) ř ⇒ F no es diferenciable en x₀

La matriz dF(x₀) es la matriz de las derivadas parciales de F en x₀. Se llama matriz Jacobiano.

Ejemplo nº 5

F(x, y) = (x·y², x²·eʸ)

Siendo:

1) La derivada con respecto a x de x·y²

2) La derivada con respecto a y de x·y²

3) La derivada con respecto a x de x²·eʸ

4) La derivada con respecto a y de x²·eʸ

2)

Plano tangente al gráfico de F en el punto (x₀, y₀, F(x₀, y₀))

Zt = F(x₀) + F'(x₀) (x - x₀) + F'y(x₀) (y - y₀). Luego: F(x) ≈ Zt, x ⊂ E(x₀)

Análisis de Continuidad

x² ≤ x² + y² ⟶ hace acotada.

Análisis de Derivabilidad

Aplicación a superficies

Superficie:

Definición:

Dada G, A ⊂ ℜ² ⟶ ℜ³, contínua, se llama superficie al conjunto imagen de G. Dicha superficie tendrá la ecuación vectorial x = G(u; w); (u; w) ⊂ A

Clasificación de funciones:

1) F ⊂ C° (o es de clase C°) contínua

2) F ⊂ C¹ (o es de clase C¹): tiene derivadas parciales continuas

3) F ⊂ C² (o es de clase C²): tiene derivadas parciales de segundo orden continuas

∞)F ⊂ C^∞ (o es de clase C^∞): tiene derivadas parciales de todo orden continuas.

Propiedad:

Si F es de una clase también es de todas las clases inferiores.

Teorema:

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ, A abierto, tal que F ⊂ C¹ en E(x₀) ⇒ F es diferenciable en x₀

Punto regular:

Dado S ⊂ ℜ³ una superficie de ecuación vectorial x = G(u; w), se dice que el punto x₀ = G(u₀; w₀) ⊂ S es regular si:

a)

∃ G'ᵤ (u₀; w₀) ∧ ∃ G'_w (u₀; w₀)

b)

G'ᵤ (u₀; w₀)×G'_w (u₀; w₀) ≠ 0 (No paralelos)

Si todos los puntos de una S son regulares, es una superficie regular, si además los G'ᵤ y G'_w no colinan es una S lisa o suave.

Teorema:

Dada A ⊂ ℜ² ⟶ ℜ, A abierto, F es diferenciable en x₀ ⊂ A ⇒ el gráfico de F es una superficie regular en el punto (x₀, y₀, F(x₀, y₀))

Si F diferenciable: vector normal: (-F'ᵤ, -F'_w, 1) o (F'ᵤ, F'_w, -1)

Plano tangente a una superficie

Definición:

Dada S ⊂ ℜ³ una superficie regular de ecuación vectorial x = G(u, w), (u, w) ⊂ A ℜ², se define el plano tangente a S en le punto A = G(u₀, w₀) como:

G'ᵤ (u₀, w₀)×G'_w (u₀, w₀)·(x - G u₀, w₀)) = 0

Teorema:

Dada F A ⊂ ℜ² ⟶ ℜ, A abierto, F diferenciable en x₀ ⊂ A, entonces la ecuación del plano tangente al gráfico de F en el punto (x₀, y₀, F(x₀, y₀)) es:

Z = F(x₀, y₀) + F'ₓ (x₀, y₀) (x - x₀) + F'_y (x₀, y₀) (y - y₀)

Observación:

Con el mismo vector G'ᵤ×G'_w se puede definir la recta normal a S:

x = λ (G'ᵤ (u₀, w₀)×G'(u₀, w₀)), λ ⊂ ℜ

O bien la recta normal al gráfico de F.

x = λ (-F'ₓ (x₀, w₀), -F'y(x₀, y₀), 1) + (x₀, y₀, F(x₀, y₀)), λ ⊂ ℜ

Composición de funciones:

Teorema:

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ, diferenciable en A, G:b ⊂ ℜᵐ ⟶ ℜᵖ, diferenciable en b, con F(A) ⊂ b, entonces:

D(g o f)(x₀) = Dg(f(x₀)). Df(x₀), x₀ ⊂ A. Se usan matrices Jacobiano.

Corolario:

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, diferenciables en A, entonces ∇ f(x₀) es perpendicular al conjunto de nivel f(x) = f(x₀), en le punto x₀

R²: ∇F(G(t)) ˆ G'(t)

ℜ³: ∇F(G(u, w)) ˆ al plano tangente a la superficie de nivel en el punto G(u, w)

Regla práctica para derivar:

Con todos los caminos posibles que conducen a la variable de derivación x x = (x, y)·(x, y) = x² + y² = |x|²

Para diferenciablidad:

"Como el gráfico de F tiene recta normal en (1, 0, 1) entonces F es diferenciable en (1, 0)

Funciones definidas en forma explícita:

Teorema:

F(x₀, y₀) = 0 ∧ F'y(x₀, y₀) ≠ 0 ⇒ F(x, y) = 0 define localmente en forma implícita una única función Y = Y(x) tal que:

a) y(x₀) = y₀

Z = f(x, y)

x + y·z - e^z = 0 ⟶ F(x, y, z)

F'_z = y - e^z

Extremos:

Absoluto: F(a) ≥ F(x) ∀ x Local: F(a) ≥ F(x) ∀ x ⊂ E(a)

Observación:

Punto frontera solo puede ser extremos absoluto.

Teorema:

Si existe la derivada con respecto a un vector en un extremo entonces es cero.

Observación:

a) Si para algún versor la derivada da ≠ 0 ⇒ no es extremo local

b) Si no ∃ F'(a, ř) ⇒ nada puede asegurarse

Teorema:

F diferenciable /F(a) es extremo local, entonces debe ser ∇F(a) = 0 (punto crítico o estacionario)

Teorema:

F diferenciable /∇F(a) = 0 ⇒ F(a) es punto silla F(x1) ≤ F(a) ≥ F(x2)

Matriz Hesiano:

F ⊂ C² /∇F(a) = 0

Casos de funciones escalares diferenciables

Derivadas máximas: ř máxima = ∇F(x₀); ř min = -∇F(x₀)

En ℜ²: ř 0 = (F'y(x₀), - F'x (x₀)) ř 0 = (-F'y(x₀), F'x (x₀))

F'(x₀, ř máxima) = |∇F(x₀)| F'(x₀, ř min) = -|∇F(x₀)|

Desarrollo de Taylor: ℜ² ⟶ ℜ: a = (a1, a2)

F(x, y) = F(a₁, a₂) + F'x(a) (x - a₁) + F'y(a) (y - a₂) +

Extremos condicionados:

Teorema de Lagrange (Para puntos críticos)

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, A abierto, f ⊂ C² y dadas Fi:A ⊂ ℜⁿ — ℜ, Fi ⊂ C², 1 ≤ i ≤ n con m < n.

Entonces los extremos locales de F sujetos a las condiciones Fi(x) = 0, 1 ≤ i = m, se pueden obtener estudiando los extremos locales de la siguiente función.

Autor: Marcelo Ariel Jusid.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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