Propiedades de los números complejos III
Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x² + 1 = 0.
Si bien esto no era un problema excesivamente grave en la época en que se observó, un ingenioso método ideado por Gerolamo Cardano (1.501 - 1.576) para la resolución de las ecuaciones de tercer grado precisaba resolver cualquier tipo de ecuaciones de segundo grado, para su aplicación.
Esto dio lugar a que se admitieran también las raíces cuadradas de los números negativos llamándolas «números imaginarios». Casi un siglo tuvo que pasar para que se hiciese un estudio completo de los mismos, llegándose a lo que hoy se llama el cuerpo de los números complejos.
El teorema más importante que existe sobre los números complejos es el «Teorema Fundamental del Algebra», demostrado por Carl Friedrich Gauss (1.777 - 1.855) que dice que cualquier polinomio con coeficientes complejos tiene una raíz compleja.
Se llama unidad imaginaria a un ente abstracto i, al que se le atribuye la propiedad de que su cuadrado es -1: i² = -1.
Añadiendo este elemento al cuerpo de los números reales, se tiene una solución para la ecuación x² + 1 = 0, pero ocurre que ya no se dispone de un procedimiento para calcular la suma y el producto de dos elementos de la estructura así obtenida.
Para que se puedan hacer multiplicaciones, es preciso que dado un número real b y la unidad imaginaria i exista el producto b·i.
Además para que estos números puedan sumarse con los números reales es preciso también que, dado un número real a exista el elemento a + b·i.
Esto da lugar a un conjunto de expresiones a las que se denominará números complejos.
Un problema que vale la pena plantearse es si podrá ocurrir que dos expresiones distintas den el mismo resultado. La respuesta es negativa.
Si a + b·i = c + d·i se tendría que a - c = (d - b)·i. Elevando al cuadrado:
(a - c)² = (d - b)²·i² = -(d - b)²
Como el primer miembro es mayor o igual que 0 (por ser un cuadrado) y el segundo es menor o igual que 0 (por ser un cuadrado cambiado de signo) se tiene que ambos han de ser nulos. Por tanto:
a - c = 0 ⇒ a = c
d - b = 0 ⇒ b = d
Las expresiones son así las mismas.
Nótese que hasta ahora se ha hecho uso de las propiedades propias de un cuerpo para ciertas expresiones que no se ha demostrado que lo constituyan. Teniendo en cuenta que tampoco se ha dado una definición correcta de lo que son los complejos, esto podría servir para justificar el porqué de la definición.
Tampoco se ha comprobado que con las expresiones de la forma a + b·i se puedan hacer todas las sumas y todos los productos posibles.
Para que se verifiquen las propiedades de cuerpo es interesante observar que ha de ser:
(a + b·i) + (c + d·i) = (a + c) + (b + d)·i, que es otra expresión del mismo tipo.
Para el producto sería (a + b·i) + (c + d·i) = a·c + b·c·i + a·d·i + b·d·i² = (a·c - b·d) + (a·d + b·c)·i, que de nuevo es una expresión de la forma dada.
Parece pues razonable dar la siguiente definición:
Se llama número complejo a cualquier expresión de la forma a + b·i, siendo a y b números reales.
Así, por ejemplo, 2 - 3·i, 5/2 + √7·i, 5·i; son número complejos.
Igualdad de números complejos
Dos números complejos a + b·i y c + d·i son iguales si a = c y b = d.
Parte real y parte imaginaria de un número complejo
Dado el complejo z = a + b·i, el número a recibe el nombre de parte real de z y b se llama parte imaginaria de z. Se representan por Re(z) e Im(z) respectivamente.
Si un número complejo tiene una de sus partes (real o imaginaria) igual a cero, ésta no suele escribirse. Así, se escribirá a en lugar de a + 0·i y también b·i en lugar de escribir 0 + b·i.
Se puede considerar que los números reales son los números complejos cuya parte imaginaria es 0. Los números complejos cuya parte real es 0 suelen recibir el nombre de imaginarios puros.
Suma y producto de números complejos
Dados dos números complejos a + b·i y c + d·i se definen su suma y su producto como sigue:
(a + b·i) + (c + d·i) = (a + c) + (b + d)·i
(a + b·i)·(c + d·i) = (a·c - b·d) + (a·d + b·c)·i
El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i² = -1.
(a + b·i)·(c + d·i) =
= a·c + a·d·i + b·c·i + b·d·i² =
= a·c + i·(a·d + b·c) + b·d·(-1) =
= a·c - b·d + i·(a·d + b·c)
Propiedades de la suma de números complejos
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
• Conmutativa
Dados dos números complejos a + b·i y c + d·i se tiene la igualdad:
(a + b·i) + (c + d·i) = (c + d·i) + (a + b·i)
Ejemplo nº 1
(2 - 3·i) + (-3 + i) = (2 - 3) + i·(-3 + 1) = -1 - 2·i
(-3 + i) + (2 - 3·i) = (-3 + 2) + i·(1 - 3) = -1 - 2·i
• Asociativa
Dados tres complejos a + b·i, c + d·i y e + f·i, se cumple:
[(a + b·i) + (c + d·i)] + (e + f·i) = (a + b·i) + [(c + d·i) + (e + f·i)]
Ejemplo nº 2
(5 + 2·i) + (3 - 4·i)] + (-9 + 8·i) = (8 - 2·i) + (-9 + 8·i) = -1 + 6·i
(5 + 2·i) + [(3 - 4·i) + (-9 + 8·i)] = (5 + 2·i) + (-6 + 4·i) = -1 + 6·i
• Elemento neutro
El elemento neutro es 0 + 0·i, puesto que:
(a + b·i) + (0 + 0·i) = (a + 0) + i·(b + 0) = a + b·i
El número 0 + 0·i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
• Elemento simétrico
El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b·i es (- a - b·i):
(a + b·i) + (-a - b·i) = 0 + 0·i = 0
Ejemplo nº 3
El simétrico de 2 - 3·i es -2 + 3·i pues (2 - 3·i) + (-2 + 3·i) = 0
Propiedades del producto de complejos
• Conmutativa
Dados dos complejos a + b·i y c + d·i, se cumple que:
(a + b·i)·(c + d·i) = (c + d·i)·(a + b·i)
Ejemplo nº 4
(7 - i)·(5 + 2·i) = 35 + 14·i - 5·i -2·i² = 35 + 9·i - 2·(-1) = 37 + 9·i
(5 + 2·i)·(7 - i) = 35 - 5·i + 14·i -2·i² = 35 + 9·i - 2·(-1) = 37 + 9·i
• Asociativa
Dados los complejos a + b·i, c + d·i y e + f·i se cumple que:
[(a + b·i)·(c + d·i)]·(e + f·i) = (a + b·i)·[(c + d·i)·(e + f·i)]
Ejemplo nº 5
[(2 - 3·i)·(5 + i)]·(4 - 7·i) =
= (10 + 2·i - 15·i - 3·i²)·(4 - 7·i) =
= (13 - 13·i)·(4 - 7·i) =
= 52 - 91·i - 52·i + 91·i² =
= -39 - 143·i
(2 - 3·i)·[(5 + i)·(4 - 7·i)] =
= (2 - 3·i)·(20 - 35·i + 4·i - 7·i²) =
= (2 - 3·i)·(27 - 31·i) =
= 54 - 62·i - 81·i + 93·i²
• Elemento neutro
El elemento neutro del producto es 1 + 0·i = 1, puesto que para cualquier complejo
a + b·i, (a + b·i)·(1 + 0·i) = (a + b·i)·1 = a + b·i.
El elemento neutro es el uno.
• Distributiva del producto con respecto a la suma
Dados tres números complejos a + b·i, c + d·i y e + f·i, se cumple:
(a + b·i)·[(c + d·i) + (e + f·i)] = (a + b·i)·(c + d·i) + (a + b·i)·(e + f·i)
Ejemplo nº 6
(1 - 2·i)·[3·i + (2 - 7·i)] = (1 - 2·i)·(2 - 4·i) =
= 2 - 4·i - 4·i + 8·i² = -6 - 8·i
(1 - 2·i)·3·i + (1 - 2·i)·(2 - 7·i) = (3·i - 6 i²) + (2 - 7·i - 4·i + 14·i²) =
= (3·i + 6) + (-12 - 11·i) = -6 - 8·i
El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.
El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).
• Elemento simétrico respecto del producto
Dado un complejo cualquiera a + b·i, distinto de 0 + 0·i, existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0·i.
• Demostración:
Se intentará calcular el inverso de a + b·i, x + y·i.
Ha de verificarse que (a + b·i)·(x + y·i) = 1 + 0·i
(a + b·i)·(x + y·i) = (a·x - b·y) + (a·y + b·x)·i. Por tanto ha de ser:
a·x - b·y = 1, multiplicando por a se tiene:
a² x - a·b·y = a
b·x + a·y = 0, multiplicando por b se tiene:
b² x + a·b·y = 0
Sumando (a² + b²)·x = a ⇒ x = a/(a² + b²)
Despejando y en la segunda ecuación:
a·y = -b·x ⇒ y = -b·x/a
| y = - | b | = | a | = | -b |
| a | a² + b² | a² + b² |
El inverso de un número complejo z = a + b·i, se suele denotar por 1/z ó z⁻¹
Por tanto, si z = a + b·i,
| 1 | = | a | - | b·i |
| z | a² + b² | a² + b² |
El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos.
División de números complejos
La división es la operación inversa de la multiplicación. Esto es, dividir un número complejo entre otro es el resultado de multiplicar el primero por el inverso del segundo.
Ejemplos de resolución de división de números complejos
Ejemplo nº 7
Dividir z/w, siendo z = 3 + 5·i y w = 1 - i.
Solución
| 1 | = | 1 | - | (-1·i) | = | 1 | + | i |
| w | 1² + (-1)² | 1² + (-1)² | 2 | 2 |
| z | = z· | 1 | = (3 + 5·i)·( | 1 | + | i | ) |
| w | w | 2 | 2 |
| z | = | 3 | + | 3·i | + | 5·i | + | 5·i² |
| w | 2 | 2 | 2 | 2 |
| z | = | 3 | - | 5 | + | 8·i | = -1 + 4·i |
| w | 2 | 2 | 2 |
Ejemplo nº 8
Efectuar la operación [(5 - 3·i)·(1 + i)/(1 - i) + 3·i]
Solución
| (5 - 3·i)·(1 + i) | = | 5 + 5·i - 3·i - 3·i² | = |
| (1 - i) + 3·i | 1 + 2·i |
| = | 5 + 2·i + 3 | = | 8 + 2·i |
| 1 + 2·i | 1 + 2·i |
| 1 | = | 1 | - | 2·i | = |
| 1 + 2·i | 1² + 2² | 1² + 2² |
| = | 1 | - | 2·i |
| 5 | 5 |
| 8 + 2·i | = | 8 + 2·i | ·( | 1 | - | 2·i | ) = |
| 1 + 2·i | 1 + 2·i | 5 | 5 |
| = | 8 | + | 16·i | + | 2·i | - | 4·i² | = |
| 5 | 5 | 5 | 5 |
| = | 8 | - | 14·i | + | 4 | = | 12 | - | 12·i |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
Raíces cuadradas de un número complejo
Además del método general que se verá más adelante para calcular raíces cualesquiera de un número complejo argumental, existe un procedimiento para hallar específicamente las raíces cuadradas de un complejo en su forma binómica.
El procedimiento es idéntico en todos los casos, por lo que bastará con aplicarlo una vez.
Se va a intentar hallar las raíces cuadradas del complejo 7 + 24·i.
Sea a + b·i una de dichas raíces cuadradas. Entonces:
7 + 24·i = (a + b·i)² = a² + 2·a·b·i + (b·i)² = (a² - b²) + 2·a·b·i
Para que estos complejos sean iguales, han de tener iguales su parte real y su parte imaginaria. Por tanto:
7 = a² - b²
24 = 2·a·b ⇒ a·b = 12 ⇒ b = 12/a
Sustituyendo en la primer ecuación:
a² - (12/a)² = 7
a² - 144/a² = 7 ⇒ a⁴ - 144 = 7·a² ⇒ a⁴ - 7·a² - 144 = 0
Que es una ecuación bicuadrada.
Haciendo el cambio t = a² resulta la ecuación t² - 7·t - 144 = 0.
Esta ecuación tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. En este caso sólo nos interesa la positiva, ya que t es el cuadrado de un número real.
| t = | 7 + √49 + 576 |
| 2 |
| t = | 7 + 25 |
| 2 |
t = 16
Así, a² = t = 16, lo que da lugar a las soluciones a = ±4
Se tienen pues dos soluciones:
a = 4 ⇒ b = 12/4 = 3
a = -4 ⇒ b = 12/(- 4) = -3
Las raíces cuadradas de 7 + 24·i son:
4 + 3·i y -4 - 3·i:
√7 + 24·i = ± (4 + 3·i)
Ejemplo de cálculo de la raíz cuadrada de un número complejo
Ejemplo nº 9
Resolver la ecuación z² + (2 + i)·z - (13 - 13·i) = 0
Solución
• Siendo un cuerpo el conjunto de los números complejos, se puede aplicar la fórmula conocida para la resolución de la ecuación de segundo grado:
| z = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Donde a = 1, b = 2 + i y c = -(13 - 13·i)
• El discriminante es:
b² - 4·a·c = (2 + i)² + 4·(13 - 13·i) = 4 + i² + 4·i + 52 - 52·i = 55 - 48·i
• Hay que calcular su raíz cuadrada. Sea x + y·i dicha raíz:
55 - 48·i = (x + y·i)² = (x² - y²) + 2·x·y·i
Igualando parte real e imaginaria:
55 = x² - y²
48 = 2·x·y ⇒ x = 24/y
55 = (24/y)² - y² = 576/y² - y²
55·y² = 576 - y⁴
y⁴ + 55·y² - 576 = 0
Haciendo el cambio t = y², t² + 55·t - 576 = 0
Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado:
| t = | -55 ± √55² - 4·1·576 |
| 2·1 |
| t = | -55 ± √3.025 - 2.304 |
| 2 |
| t = | -55 ± √5.329 |
| 2 |
| t = | -55 ± 73 | = | ⟶ | 9 |
| 2 | ⟶ | -64 |
Como t es el cuadrado de un número real y, por tanto positivo, se desprecia la solución t = -64
Así t = 9 ⇒ y = ±3 ⇒ x = 24/y = ±8
Se tiene entonces que las raíces cuadradas de 55 - 48·i son 8 + 3·i y -8 - 3·i.
Sustituyendo en la fórmula de la ecuación de segundo grado:
| z = | -(2 + i) ± (8 + 3·i) | = | ⟶ | 3 + i |
| 2 | ⟶ | -5 - 2·i |
Representación gráfica de un número complejo
Puesto que cualquier número complejo se puede representar de forma única mediante dos números reales (su parte real y su parte imaginaria), se puede identificar cada complejo a + b·i con el punto del plano (a, b) y viceversa.
Es más, cualquier punto del plano (a, b) define un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).
De esta forma, cualquier número complejo puede representarse como un vector en el plano cuyo origen es el de coordenadas (0, 0) y cuyo extremo es el par ordenado asociado al complejo (a, b).
Así, en el plano, el vector asociado al número complejo 2 - 3·i tiene por coordenadas (2, -3).
Autor: Patricia Bati. Argentina.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
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¿Cuál es el conjugado de un número complejo?