Propiedades de los números complejos IV

Conjugado de un número complejo

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + b·i y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - b·i.

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

a + b·i = a - b·i

Propiedades de los conjugados

Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

• Demostración:

En efecto si z = a + b·i se tiene que z = a - b·i, de donde, = a + b·i = z

Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z', el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que z + z' = z + z'

• Demostración:

Tomando z = a + b·i y z' = c + d·i, se tiene:

z = a + b·i y z' = c - d·i, con lo que z + z' = (a + b·i) + (c - d·i) = (a + c) + (-b - d)·i

Por otra parte:

z + z' = (a + c) + (b + d)·i ⇒ z + z' = (a + c) - (b + d)·i, y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

z·z' = z·z'

• Demostración:

Si z = a + b·i y z = c + d·i se tiene que z·z = (a·c - b·d) + (a·d + b·c)·i, cuyo conjugado es z·z' = (a·c - b·d) - (a·d + b·c)·i.

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

z·z' = (a - b·i)·(c - d·i) = (a·c - b·d) + (-a·d - b·c)·i.

El resultado es igual al anterior.

Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

• Demostración:

Sea un complejo a + b·i que coincida con su conjugado. Esto equivale a que

a + b·i = a - b·i

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + b·i es un número real.

Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

• Demostración:

(a + b·i) + (a - b·i) = 2·a

(a + b·i)·(a - b·i) = a² - (b·i)² = a² + b²

División de números complejos

Como consecuencia de este resultado, se tiene un procedimiento más sencillo que el visto para efectuar una división. Basta con multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Por ejemplo:

Ejemplo de división de números complejos

Ejemplo nº 1

Determinar k de forma que el cociente (-2 + k·i)/(k - i) sea:

a) Real

b) Imaginario puro

c) Tenga la parte real igual a la imaginaria

Solución

a)

Para que este cociente sea un número real es preciso que su parte imaginaria sea 0:

k² - 2 = 0 ⇒ k = ± √2

b)

Para que sea imaginario puro ha de tener parte real nula:

-3·k = 0 ⇒ k = 0

c)

-3·k = k² - 2

k² + 3·k - 2 = 0

Resolviendo dicha ecuación se obtienen dos valores para k:

Forma trigonométrica y forma módulo-argumental de un complejo

Al representar un número complejo como un vector en la forma ya descrita, éste viene definido de manera única por dos valores: su módulo y el ángulo α formado por el eje positivo de abscisas con el vector. Este ángulo recibe el nombre de argumento del número complejo.

Dado un complejo z = a + b·i en su forma binómica y llamando |z| a su módulo y α a su argumento, se tienen las siguientes relaciones:

cos α = a/|z| y sen α = b/|z|

Despejando a y b en estas igualdades, a = |z|·cos α y b = |z|·sen α

De ahí se tiene que:

a + b·i = |z|·cos α + i·|z|·sen α = |z|·(cos α + i·sen α)

Cualquier número complejo z puede representarse así como una expresión de la forma |z|·(cos α + i·sen α).

Esta manera de escribir un número complejo recibe el nombre de forma trigonométrica.

En muchos casos se escribe simplemente el módulo, y el argumento como subíndice. Así se podría escribir |z|_α, en lugar de escribir la forma trigonométrica completa |z|·(cos α + i·sen α).

Esta manera de expresar un número complejo se llama forma módulo argumental o polar.

Nótese que si al argumento de un número complejo es incrementado en 360°, al no variar el seno ni el coseno de dicho ángulo, el número complejo definido no varía.

Cálculo de módulo y argumento de un complejo

Para calcular el argumento de un número complejo z = a + b·i, basta con tener en cuenta que:

a = |z|·cos α

b = |z|·sen α

Dividiendo estas dos igualdades,

Así, el argumento de un complejo es un ángulo cuya tangente vale b/a.

Entre 0° y 360° hay, en general, dos ángulos cuya tangente toma ese valor. Para decidirse entre ellos es preciso fijarse en qué cuadrante se encuentra el complejo en cuestión.

Para calcular el módulo se suman los cuadrados de las dos igualdades obtenidas:

a² + b² = |z|·cos α + |z|²·sen α =
= |z|²·(cos α + sen α) = |z|²

|z| = √a² + b²

Ejemplos de cálculo de módulo y argumento de un complejo

Ejemplo nº 2

Escribir en forma módulo-argumental los complejos 3 + 2·i, 1 - i, -2 - 5·i.

Solución

a)

|3 + 2·i| = √3² + 2² = √13

tg α = ⅔ = 0,66. Haciendo uso de la calculadora, α = 33° 41' 24"

Teniendo en cuenta que dos ángulos que difieren en 180° tienen la misma tangente, podría aceptarse α = 213° 41' 24".

Pero el complejo dado se encuentra en el primer cuadrante.

Así, 3 + 2·i = (√13)_{33° 41' 24"}

b)

|1 - i| = √1² + (-1)² = √2

tg α = -1/1 = -1

Los ángulos que tienen tangente -1 son los ángulos de 135° y 315°. Como el complejo dado pertenece al cuarto cuadrante, el argumento es 315°.

Así, 1 - i = (√2)_315°

c)

|-2 - 5·i| = √(-2)² + (-5)² = √29

tg α = -5/-2 = 2,5

Los ángulos cuya tangente es 2,5 son 68° 11' 54" y 248° 11' 54". El complejo dado pertenece al tercer cuadrante, por lo que el argumento es el segundo valor.

Por tanto, -2 - 5·i = (√29)_{248° 11' 54"}

Ejemplo nº 3

Representar en forma binómica los complejos 3_50°, 2_180° y 1_220°

Solución

3_50° = 3·(cos 50° + i·sen 50°) = 3·(0,643 + 0,766·i) = 1,929 + 2,298·i

2_180° = 2·(cos 180° + i·sen 180°) = 2·(-1 + 0·i) = -2

1_220° = 1·(cos 220° + i·sen 220°) = -0,766 - 0,643·i

Producto de complejos en forma módulo-argumental

Aunque ya se dispone de un método para calcular el producto de dos números complejos cualesquiera, cuando ambos números vienen dados en su forma módulo-argumental existe un procedimiento mucho más sencillo. Este método consiste en multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos.

Para ver que esto es correcto, basta con efectuar la multiplicación:

R_α·R'_α' = R·(cos α + i·sen α)·R' (cos α' + i·sen α') =

= R·R'·{[(cos α)·(cos α)' - (sen α)·(sen α')] + i·[(sen α)·(cos α)' + (cos α)·(sen α')]}

Pero las expresiones que se encuentran entre paréntesis son precisamente las razones trigonométricas del ángulo α y α'. Así se tiene que;

Rα·R'_α' = R·R'·{cos (α + α') + i·sen (α + α')} = (R·R')_{α + α'}

Ejercicios de aplicación

Ejercicio nº 1) Demostrar que para dividir dos números complejos se dividen sus módulos y se restan sus argumentos.

Solución

Supóngase que se quieren dividir los complejos R_α·R'_α'. Llamando R" al módulo del cociente y α" a su argumento,

R_α/R'_α' = R"_α" ⇒ R_α = R'_α'·R"_α" = (R'_α'·R"_α")_{α' + α"}

Se tiene, pues, que R = R'·R" ⇒ R" = R/R' y que α = α' + α" ⇒ α" = α - α'

Ejercicio nº 2) Comprobar la fórmula vista para el producto multiplicando por dos métodos distintos los complejos 3·i y 2 - 2·i.

Solución

• En primer lugar se multiplican directamente los dos números:

3·i·(2 - 2·i) = 6·i - 6·i² = 6 + 6·i

• Ahora se calcula el módulo y el argumento de cada uno de los factores:

|3·i| = √0² + 3² = √9 = 3

tg α = 3/0, con lo que α = 90° ó α = 270°

Por ser positiva la ordenada,

α = 90° ⇒ 3·i = 3_90°

|2 - 2·i| = √2² + 2² = √8

tg α = -2/2, con lo que α' = 135° ó α' = 315°

Como el complejo dado está en el cuarto cuadrante, será

α' = 315° ⇒ 2 - 2·i = √8_315°

Multiplicando en forma módulo-argumental:

3·i·(2 - i) = 3_90°·(√8)_315° = (3·√8)_405° = (3·√8)_45° (405° = 45° + 360°)

Transformando dicho número a su forma binómica:

(3·√8)_45° = 3·√8·(cos 45° + i·sen 45°)

(3·√8)_45° = 3·√8·(√2/2 + i·√2/2)

(3·√8)_45° = 3·√16/2 + 3·i·√16/2

(3·√8)_45° = 6 + 6·i

Ejercicio nº 3) Demostrar que el producto de un complejo por su conjugado es igual al cuadrado del módulo.

Solución

Se van a dar dos demostraciones:

a)

Si z = a + b·i se tiene z = a - b·i, de donde

z·z = (a + b·i)·(a - b·i) = a² + b² = |z|²

b)

Si se considera el complejo dado en la forma módulo-argumental, cuyo módulo es R y cuyo argumento es α, en la figura adjunta se ve que su conjugado tiene también módulo R, pero que su argumento es 360° - α.

Multiplicando:

R_α·r_{360° - α'} = (R·R)360° = R² (cos 360° + i·sen 360°) = R² (1 + 0·i) = R²

Fórmula De Moivre

El módulo de una potencia cuya base es un número complejo, es otro complejo cuyo módulo se obtiene elevando el módulo al exponente correspondiente y cuyo argumento se obtiene multiplicando el argumento por el exponente. Es decir,

(R_α)ⁿ = R_nαⁿ

• Demostración:

(R_α)ⁿ = R_α·R_α … R_α = (R·R … R)_{α + α … + α} = (Rⁿ)_n·α

Esta igualdad recibe el nombre de fórmula De Moivre, en honor del matemático francés De Moivre (1.667 - 1.754).

Ejemplo de aplicación de la fórmula De Moivre

Ejemplo nº 4

Aplicar la fórmula De Moivre para hallar la expresión de sen 4·x y de cos 4·x en función de las razones trigonométricas de x.

Solución

Se considera el complejo 1ₓ. Calculando su cuarta potencia:

(1ₓ)⁴ = 1₄.ₓ = cos 4·x + i·sen 4·x

Pero 1ₓ = cos x + i·sen x, con lo que (1ₓ)⁴ = (cos x + i·sen x)⁴

Aplicando el binomio de Newton a esta expresión:

(cos x + i·sen x)⁴ = cos⁴ x + 4·i·cos³ x·sen x + 6·cos² x·(i·sen x)² + 4·cos x·(i·sen x)³ + (i·sen x)⁴

Pero i² = -1, i³ = i²·i = -1·i = -i e i⁴ = i²·i² = (-1)·(-1) = 1

Así:

(cos x + i·sen x)⁴ = cos⁴ x + 4·i·cos³ x·sen x - 6·cos² x·sen² x - 4·cos x·(sen³ x)·i + sen⁴ x

La parte real de este número es:

cos 4·x = cos⁴ x - 6·cos² x·sen² x + sen⁴ x

Y la parte imaginaria es:

sen 4·x = 4·cos³ x·sen x - 4·cos x·sen³ x

Raíces de un número complejo

Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula De Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360°.

Sea R_α un número complejo y considérese otro complejo R'_α', tal que

R_α = (R'_α')ⁿ = ((R')ⁿ)_n·α'

Esto equivale a que (R')ⁿ = R, o lo que es lo mismo, que R' = ⁿ√R, y que

n·α' = α + k·360° ⇔ α' = α/n + k·360°/n, donde k es un entero arbitrarios. Es decir,

Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, …, n - 1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.

Ejemplo de cálculo de las raíces de un número complejo

Ejemplo nº 5

Hallar las raíces cúbicas de 8.

Solución

El método descrito permite calcular raíces únicamente en la forma módulo-argumental. Se debe escribir el número 8 en dicha forma:

|8| = √8² + 0² = √8² = 8

tg α = 0/8 = 0, con lo que α = 0° ó α = 180°.

Como la parte real de 1 es positiva el valor adecuado es α = 0°.

Calculando los valores precisos:

∛8 = 2; 0°/3 = 0° y 360°/3 = 120°

Así, las raíces cúbicas son las que tienen módulo igual a 2 y argumento 0° + 120° k, donde k puede tomar los valores 0, 1 y 2.

Se tienen pues las tres raíces:

2_0° = 2·(cos 0° + i·sen 0°)

2_0° = 2·(1 + 0·i)

2_0° = 2

2_120° = 2·(cos 120° + i·sen 120°)

2_120° = -1 + √3·i

2_240° = 2·(cos 240° + i·sen 240°)

2_240° = -1 - √3·i

Ejemplo nº 6

Hallar las raíces cuartas de 2 + 2·i.

Solución

En primer lugar se calcula el módulo y el argumento de 2 + 2·i:

|2 + 2·i| = √2² + 2² = √8

tg α = 2/2 = 1, con lo que α = 45°, ya que ha de hallarse en el primer cuadrante. El módulo de todas las raíces cuartas será:

= ⁸√8

Para hallar los argumentos hay que calcular 45°/4 = 11° 15' y 360°/4 = 90°

Dando a k los valores 0, 1, 2 y 3 se obtienen las cuatro raíces cuartas de 2 + 2·i, que son:

⁸√8·(cos 11° 15' + i·sen 11° 15') = 1,297·(0,981 + 0,195·i) = 1,272 + 0,253·i

⁸√8·(cos 101° 15' + i·sen 101° 15') = 1,297·(-0,195 + 0,981·i) = -0,253 + 1,272·i

⁸√8·(cos 191° 15' + i·sen 191° 15') = 1,297·(-0,981 - 0,195·i) = -1,272 - 0,253·i

⁸√8·(cos 281° 15' + i·sen 281° 15') = 1,297·(0,195 - 0,981·i) = 0,253 - 1,272·i

Autor: Patricia Bati. Argentina.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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