Problema nº 5 de números complejos o imaginarios - TP02
Enunciado del ejercicio nº 5
Efectuar las siguientes operaciones:
| a) ( | 2 | + i) + ( | 4 | - | 3·i | ) + ( | 2 | + | i | ) + ( | -28 | - | 3·i | ) = |
| 3 | 3 | 4 | 15 | 4 | 15 | 2 |
b) (√2 - √3·i)·(√2 + √3·i)·(1 + √6·i) =
| c) ( | 5 | ; | 5 | )÷( | 2 | ; | 1 | ) = |
| 2 | 3 | 5 | 2 |
d) (2·√3; 4)² =
e) i2.510 =
f) i⁻³¹⁵ =
Solución
a)
| a) ( | 2 | + i) + ( | 4 | - | 3·i | ) + ( | 2 | + | i | ) + ( | -28 | - | 3·i | ) = |
| 3 | 3 | 4 | 15 | 4 | 15 | 2 |
Retiramos los paréntesis y agrupamos las componentes reales separadamente de las imaginarias:
| = | 2 | + | 4 | + | 2 | + | -28 | + i - | 3·i | + | i | - | 3·i | = |
| 3 | 3 | 15 | 15 | 4 | 4 | 2 |
| = | 2 | + | 4 | + | 2 | - | 28 | + ( | 1 | - | 3 | + | 1 | - | 3 | )·i = |
| 3 | 3 | 15 | 15 | 1 | 4 | 4 | 2 |
Sumamos las fracciones reales e imaginarias por separado.
El denominador común de la parte real es "15" y el de la parte imaginaria es "4":
| = | 2·5 + 4·5 + 2 - 28 | + ( | 1·4 - 3 + 1 - 3·2 | )·i = |
| 15 | 4 |
| = | 10 + 20 + 2 - 28 | + ( | 4 - 3 + 1 - 6 | )·i = |
| 15 | 4 |
| = | 4 | + ( | -4 | )·i = |
| 15 | 4 |
| = | 4 | + ( | -1 | )·i = |
| 15 | 1 |
| = | 4 | - i |
| 15 |
b)
(√2 - √3·i)·(√2 + √3·i)·(1 + √6·i) =
El primer producto es una diferencia de cuadrados, resolvemos:
= [(√2)² - (√3·i)²]·(1 + √6·i) =
= (2 - 3·i²)·(1 + √6·i) =
Como i² = -1:
= [2 - 3·(-1)]·(1 + √6·i) =
= (2 + 3)·(1 + √6·i) =
= 5·(1 + √6·i) =
Aplicamos distributiva del producto respecto a la suma:
= 5·1 + 5·√6·i =
= 5 + 5·√6·i
c)
| ( | 5 | ; | 5 | )÷( | 2 | ; | 1 | ) = |
| 2 | 3 | 5 | 2 |
Este caso viene dado en forma vectorial o par ordenado.
Dividimos componente a componente:
| = ( | 5 | ÷ | 2 | ; | 5 | ÷ | 1 | ) = |
| 2 | 5 | 3 | 2 |
Invertimos las fracciones que dividen, queda expresado como producto:
| = ( | 5 | · | 5 | ; | 5 | · | 2 | ) = |
| 2 | 2 | 3 | 1 |
Resolvemos:
| = ( | 25 | ; | 10 | ) |
| 4 | 3 |
d)
(2·√3; 4)² =
Este caso viene dado en forma vectorial o par ordenado.
Dividimos componente a componente:
= [(2·√3)²; 4²] =
= (4·3; 16) =
= (12; 16)
e)
i2.510 =
Según las propiedades del exponente:
iⁿ = i4·c + r = i⁴˙ᶜ·ir = (i⁴)ᶜ·ir = (1)ᶜ·ir = 1·ir = ir
n = 4·c + r
2.510 = 627·4 + 2
= i⁶²⁷˙⁴ ⁺ ² = (i⁴)⁶²⁷·i² = (i⁴)⁶²⁷·i²
Como i⁴ = 1:
= (1)⁶²⁷·i² =
Como i² = -1:
= 1·(-1) =
i2.510 = -1
f)
| i⁻³¹⁵ = | 1 |
| i315 |
Según las propiedades del exponente:
iⁿ = i4·c + r = i⁴˙ᶜ·ir = (i⁴)ᶜ·ir = (1)ᶜ·ir = 1·ir = ir
n = 4·c + r
315 = 78·4 + 3
| i⁻³¹⁵ = | 1 |
| i(78·4 + 3) |
| i⁻³¹⁵ = | 1 |
| i⁷⁸˙⁴·i³ |
| i⁻³¹⁵ = | 1 |
| (i⁴)⁷⁸·i³ |
Como i⁴ = 1:
| i⁻³¹⁵ = | 1 |
| 1⁷⁸·i³ |
Como i³ = -i:
| i⁻³¹⁵ = | 1 |
| 1·(-i) |
| i⁻³¹⁵ = | 1 |
| -i |
Multiplicamos y dividimos por "i":
| i⁻³¹⁵ = | 1·i |
| -i·i |
| i⁻³¹⁵ = | i |
| -i² |
Como i² = -1:
| i⁻³¹⁵ = | i |
| -(-1) |
| i⁻³¹⁵ = | i |
| 1 |
i⁻³¹⁵ = i
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, como hallar números complejos