Problema nº 6 de números complejos o imaginarios, operaciones - TP02

Enunciado del ejercicio nº 6

Dados los números complejos:

u = √3 + i

v = -√3 + 3·i

w = 2 - 2·√3·i

Efectuar:

2·u - (v² - u) -	v
	w

Solución

z = 2·u - (v² - u) -	v
	w

Reemplazamos por los complejos dados:

z = 2·(√3 + i) - [(-√3 + 3·i)² - (√3 + i)] -	-√3 + 3·i
	2 - 2·√3·i

En el primer término aplicamos distributiva del producto respecto a la suma:

z = 2·2·√3 + 2·i - [(-√3 + 3·i)² - (√3 + i)] -	-√3 + 3·i
	2 - 2·√3·i

En el segundo término tenemos un binomio al cuadrado, resolvemos:

z = 4·√3 + 2·i - [(-√3)² + 2·(-√3)·3·i + (3·i)² - (√3 + i)] -	-√3 + 3·i
	2 - 2·√3·i

z = 4·√3 + 2·i - [3 - 6·√3·i + 9·i² - (√3 + i)] -	-√3 + 3·i
	2 - 2·√3·i

Como i² = -1:

z = 4·√3 + 2·i - [3 - 6·√3·i + 9·(-1) - (√3 + i)] -	-√3 + 3·i
	2 - 2·√3·i

Aunque no se detalle en cada paso a medida que resolvemos el ejercicio vamos efectuando las operaciones obvias como, por ejemplo: retirar paréntesis, simplificaciones, sumas, restas y multiplicaciones.

z = 4·√3 + 2·i - (3 - 6·√3·i - 9 - √3 - i) -	-√3 + 3·i
	2 - 2·√3·i

Racionalizamos el denominador del último término:

z = 4·√3 + 2·i - 3 + 6·√3·i + 9 + √3 + i -	(-√3 + 3·i)·(2 + 2·√3·i)
	(2 - 2·√3·i)·(2 + 2·√3·i)

z = 5·√3 + 3·i + 6·√3·i + 6 -	(-√3)·2 + (-√3)·2·√3·i + 3·i·2 + 3·i·2·√3·i
	2² - (2·√3·i)²

z = 6 + 5·√3 + 3·i + 6·√3·i -	-2·√3 - 2·(√3)²·i + 6·i + 6·√3·i²
	4 - 4·3·i²

z = 6 + 5·√3 + 3·i + 6·√3·i -	-2·√3 - 2·3·i + 6·i + 6·√3·(-1)
	4 - 12·(-1)

z = 6 + 5·√3 + 3·i + 6·√3·i -	-2·√3 - 6·i + 6·i - 6·√3
	4 + 12

z = 6 + 5·√3 + 3·i + 6·√3·i -	-8·√3
	16

z = 6 + 5·√3 + 3·i + 6·√3·i +	√3
	2

z = 6 + 5·√3 +	√3	+ 3·i + 6·√3·i
	2

z =	12 + 11·√3	+ 3·i + 6·√3·i
	2

Resultado, el nuevo complejo es:

z =	12 + 11·√3	+ 3·(1 + 2·√3)·i
	2

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo de operaciones con números complejos