Propiedades de los números reales - primera parte
Como herramienta para la construcción utilizamos el concepto de números racionales, la sucesión de Cauchy.
Sucesión de números racionales:
Una sucesión de números racionales es una aplicación de N en Q x: n ∈ N ⟶ xₙ ∈ Q.
La sucesión la representaremos por (xₙ).
Adición de sucesiones: (xₙ) + (yₙ) = (xₙ + yₙ)
Multiplicación de sucesiones: (xₙ)·(yₙ) (xₙ·yₙ)
Propiedades de la sucesiones:
Adición:
- Asociativa: (xₙ) + [(yₙ) + (zₙ)] = [(xₙ) + (yₙ)] + (zₙ)
- Conmutativa: (xₙ) + (yₙ) = (yₙ) + (xₙ)
- ∃ neutro: (xₙ) + (0) = (xₙ)
- ∃ opuesto: (xₙ) + (-xₙ) = (0)
Multiplicación:
- Asociativa: (xₙ)·[(yₙ)·(zₙ)] = [(xₙ)·(yₙ)]·(zₙ)
- Conmutativa: (xₙ)·(yₙ) = (yₙ)·(xₙ)
- ∃ Unidad: (xₙ)·(1) = (xₙ)
- ∃ Inverso (xₙ) ≠ 0 / (xₙ)·(xₙ)⁻¹ = (1) (Siempre que 0 ∈ (xₙ))
- Distributiva: (xₙ)·[(yₙ) + (zₙ)] = (xₙ)·(yₙ) + (xₙ)·(zₙ)
Para la construcción de ℜ, nos vamos a interesar por dos tipos de sucesiones: las sucesiones convergentes y la sucesiones de Cauchy.
Definición:
Se verifique (xₙ) converge a a ∈ ℜ ó tiene por límite a a, a = lim (xₙ) cuando:
∀ ε > 0, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ |xₙ - a| < ε
Decir |xₙ - a| < ε es lo mismo que decir - ε < xₙ - a < ε, a - ε < xₙ < a + ε. Esta definición dice que cualquiera que sea el intervalo centrado en a (con extremos a - ε, a + ε, ε > 0) en el están todos los términos de la sucesión xₙ salvo, a lo sumo, finitos (los υ primeros).
Ejemplo nº 1
(1, ½, ⅓, …) = (1/n) converge a 0
La sucesión (1, 2, 1, 2, 1, 2, …) No converge a nada.
Tampoco es convergente (1, 1'4, 1'41,1'414, 1'4142, ……) que resulta de la aplicación a 2 del algoritmo de la raíz cuadrada.
Para ver que esta sucesión no es convergente, basta con ver que si fuera convergente a un número a ∈ ℜ, entonces a² = 2 (No hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 2).
Definición:
Se dice que (xₙ) es de Cauchy cuando:
∀ ε > 0, ∑ υ ∃ N / p, q > υ ⇒ |xₚ, xq| < ε
Esto quiere decir que los términos, salvo finitos, distan entre si tan poco como queramos.
Ejemplo nº 2
(1, ½, ⅓, ……) Convergente y de Cauchy.
(1, 1'4, 1'41, 1'414, 1'1412 ……) No convergente y de Cauchy.
Todos los términos distan entre si menos que 1, menos que ⅒, menos que 1/100, etc …
• Proposición:
Toda sucesión convergente es de Cauchy
• Demostración:
Supongamos que (xₙ) es convergente. Esto significa que:
∀ ε < 0, ∑ υ ∃ N/n > υ ⇒ |xₙ - a| < ε/2
Por consiguiente:
p, q > υ ⇒ |xₚ - xq| = |xₚ - a + a - xq| ≤ |xₚ - a| + |xq - a| < ε/2 + ε/2 = ε
• Nota: Tanto en las definiciones como en las demostraciones se han utilizado el valor absoluto de números racionales. Por definición, dado x ∈ Q:
x si x ≥ 0
|x| = -(-x) si x < 0
El valor absoluto tiene las siguientes propiedades:
∀ x, y ∈ Q |x + y| ≤ |x| + |y|
|x·y| = |x|·|y|
De estas propiedades se siguen otras:
|-x| = |x|
|x⁻¹| = |x|⁻¹ (x ≠ 0)
|x/y| = |x| / |y| (y ≠ 0)
|x| - |y| ≤ |x - y| ⇒ | |x| - |y| | ≤ |x ± y|
Sin embargo, hay sucesiones de Cauchy de números racionales que no son convergentes:
{1, 1'4, 1'41, …} Resulta de aplicar el algoritmo de la raíz cuadrada a 2
• Proposición:
Si (xₙ) es convergente, entonces su límite es único
• Demostración:
Supongamos que (xₙ) converge a a ∈ Q y a b ∈ Q
Llegamos a una contradicción. En efecto, de la definición de sucesión convergente se sigue que:
∃ υ₁ ∈ N /n > υ₁ ⇒ |xₙ - a| < |a - b|/ 3
|a - b|/ 3 > 0,
∃ υ₂ ∈ N /n > υ₂ ⇒ |xₙ - b| < |a - b|/ 3
Por tanto, para máximo (υ₁, υ₂) se tiene que:
|a - b| = |a - xₙ + xₙ- b| ≤ |xₙ - a| + |xₙ - b| < ⅔ |a - b|
| a | b | ||
Todos salvo finitos
Definición:
Una sucesión (xₙ) se dice que es acotada cuando existe M ≥ 0 tal que ∀ n ∈ N |xₙ| ≤ M, es decir es acotada cuando todos sus términos están dentro de un cierto intervalo.
• Proposición:
Toda sucesión de Cauchy (por tanto toda sucesión convergente) es acotada.
• Demostración:
Sea (xₙ) de Cauchy, esto significa que:
(dado 1 > 0)/ ∑ υ ∃ N /n > 0 ⇒ |xₙ - xυ| < 1
Por tanto:
|xₙ| - |xυ| ≤ |xₙ - xυ| < 1
|xₙ| < 1 + |xυ|
Luego M = máx. {|x₁|, |x₂|, ……,|xυ - 1|,1 + |xυ|}es tal que ∀ n ∈ N, |xₙ| ≤ M
• Proposición:
Si (xₙ) converge a a e (yₙ) converge a b, entonces (xₙ) + (yₙ) y (xₙ)·(yₙ) converge a a + b y a·b, respectivamente.
• Demostración:
Para la suma:
|xₙ + yₙ - (a + b)| ≤ |xₙ - a| + |yₙ - b|
Para la multiplicación:
Sabemos que |xₙ - a| e |yₙ- b| son "tan pequeños como queramos" sin más que tomar n "suficientemente grande".
Queremos ver lo mismo para |xₙ yₙ- a·b|. La clave de la demostración está en la siguiente desigualdad:
|xₙ yₙ - a·b| = |xₙ yₙ - xₙ b + xₙ b - a·b| ≤ |xₙ|·|yₙ - b| + |xₙ - a|·|b|
A la vista de eso aplicamos la hipótesis como más nos convenga. Sabemos que (xₙ) es acotada, es decir, existe M > 0 tal que |xₙ| ≤ M
Por tanto:
∃ υ₁ ∈ N /n > υ₁ ⇒ |xₙ - a| < ε / 2|b| (Si |b| = 0 esto no se puede escribir, todo es más fácil)
∀ 3 > 0
∃ υ₂ ∈ N /n > υ₂ ⇒ |yₙ - b| < ε/2M
Luego n > máx. (υ₁, υ₂) ⇒ |xₙ yₙ - a·b < ε
Si denotamos S al conjunto de todas las sucesiones de números racionales.
C al conjunto de las que son de Cauchy.
C₀ al conjunto de las que son convergentes.
Tenemos que:
(S, +, ·) es un anillo conmutativo y unitario.
(C, +, ·) es un subanillo.
(C₀, +, ·) es un subanillo del anterior.
C₀ ⊂ C ⊂ A ⊂ S
Con las sucesiones de Cauchy de números racionales como herramienta vamos a definir los números reales.
Definición:
Sean (xₙ) e (yₙ) sucesiones de Cauchy de números racionales, se dice que (xₙ) es equivalente a (yₙ) ((xₙ)˜(yₙ)), cuando la sucesión diferencia (xₙ - yₙ) converge a 0
• Nota: Las sucesiones de Cauchy son sucesiones cuyos términos se encuentran en algún sitio de la recta. Dos de ellos son equivalentes cuando se encuentran en el mismo sitio.
Ejemplos de sucesión de Cauchy
Ejemplo nº 1
Demostrar que lo anterior es una relación de equivalencia en el conjunto C de las sucesiones de Cauchy de números racionales.
a) Reflexiva: ∀ (xₙ) ∈ C, (xₙ) ˜(xₙ) ⇒ (xₙ - xₙ) converge a 0
b) Simétrica: (xₙ), (yₙ) ∈ C, (xₙ) ˜ (yₙ) ⇒ (xₙ - yₙ) converge a 0 ⇒ (yₙ - xₙ) converge a 0 ⇒ (yₙ) ˜ (xₙ)
c) Transitiva: (xₙ) ˜(yₙ), (yₙ) ˜ (zₙ) ⇒ (xₙ - yₙ), (yₙ - zₙ) convergen a 0 ⇒
d) ⇒ (xₙ - zₙ) converge a 0 ⇒ (xₙ) ˜ (zₙ)
Ejemplo nº 2
Demostrar que si (xₙ) ⟶ a y (xₙ) ˜ (yₙ) ⇒ yₙ ⟶ a
(xₙ) ˜(yₙ) ⇒ (xₙ - yₙ) ⟶ 0 ⇒ (xₙ) ⟶ a ⇒ a - x = 0 ⇒ x = a ⇒ (yₙ) ⟶ a
Definición:
R = C / ˜
Un número real es una clase de sucesiones de Cauchy equivalentes respecto a la sucesión anterior.
Recordemos que un número entero es una clase de pares de números naturales (haber, debe).
Un número racional es una clase de pares de números enteros.
Es número real "no racional" √2 es una clase formada por las sucesiones:
(1; 1,4; 1,41; 1,414; …)
(2; 1,5; 1,42; 1,415; …)
(1; 1,5; 1,41; 1,415; …)
Vamos a definir una adición, una multiplicación y una relación "ser menor que" en ℜ, a ver que estas operaciones y relación tienen las mismas propiedades que sus análogas en Q; a ver que (Q, +, ·, <) ⊂ >(ℜ, +, ·, <), es decir, es una aplicación inyectiva de Q en ℜ, tal que:
- i·(a + b) = i·(a) + i·(b)
- i·(a·b) = i·(a)·i·(b)
- a < b ⇒ i·(a) < i·(b)
En esta nueva estructura hay una nueva propiedad que no había en la de partida (una propiedad que no demostramos).
• Definición de adición en ℜ:
Si (xₙ) es una sucesión de Cauchy de números racionales, [(xₙ)] representa al número real formado por la sucesión y todas su equivalentes:
[(xₙ)] + [(yₙ)] = [(xₙ + yₙ)]
Veamos que esta definición no depende de los representantes elegidos para darla, es decir, que:
(xₙ) ˜(x'ₙ) ⇒ (xₙ + yₙ) ˜(x'ₙ + y'ₙ)
(yₙ) ˜(y'ₙ)
• Demostración:
Tenemos que (xₙ - x'ₙ) ⟶ 0, (yₙ - y'ₙ) ⟶ 0
Queremos ver que ((xₙ + yₙ) - (x'ₙ + y'ₙ)) ⟶ 0
Sabemos que |(xₙ + yₙ) - (x'ₙ + y'ₙ)| ≤ |xₙ - x'ₙ| + |yₙ - y'ₙ|
Por hipótesis:
∃ υ₁ ∈ N /n > υ₁ ⇒ |xₙ - x'ₙ| < ε/2
∀ 3 > 0
∃ υ₂ ∈ N /n > υ₂ ⇒ |yₙ - y'ₙ| < ε/2
De eso y lo anterior sigue que:
N > máx. (υ₁, υ₂) ⇒ |xₙ + yₙ| - |x'ₙ + y'ₙ| < ε/2 + ε/2 = ε
Si (xₙ - x'ₙ) ⟶ 0, (yₙ - y'ₙ) ⟶ 0 entonces:
(xₙ - x'ₙ) + (yₙ - y'ₙ) = ((xₙ + yₙ) - (x'ₙ + y'ₙ)) ⟶ 0
Propiedades de la adición en ℜ:
Asociativa:
[(xₙ)] + {[(yₙ)] + [(zₙ)]} = [(xₙ)] + [(yₙ + zₙ)] = [(xₙ + yₙ + zₙ)] = [(xₙ + yₙ)] + [(zₙ)] = {[(xₙ)] + [(yₙ)]} + [(zₙ)]
Conmutativa:
[(xₙ)] + [(yₙ)] = [(xₙ + yₙ)] = [yₙ + xₙ)] = [(yₙ)] + [(xₙ)]
Elemento Neutro:
[(xₙ)] + [(0)] = [(xₙ + 0)] = [(xₙ)]
Elemento Opuesto:
[(xₙ)] + [(-xₙ)] = [(xₙ - xₙ)] = [(0)]
Multiplicación de números reales:
[(xₙ)]·[(yₙ)] = [(xₙ·yₙ)]
Sabemos que el producto de sucesiones de Cauchy es de Cauchy. Además por definición no depende de los representantes elegidos para darla, es decir, verifica que:
(xₙ) ˜(x'ₙ) ⇒ (xₙ yₙ) ˜(x'ₙ y'ₙ)
(yₙ) ˜(y'ₙ)
Autor: Daniel Fernández. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).