Construcción a partir de ℜ de los números complejos (C)
¿Por qué esta nueva extensión? El polinomio x - 3 tiene raíz en N (el 3), pero x + 3 no. Si la tiene en Z (el -3). El polinomio 2·x - 3 no tiene raíz en Z pero si en Q (el -3/2). El polinomio x² - 2 no tiene raíces en Q, pero sí en ℜ (el ± √2). El polinomio x² + 2 no tiene raíces en ℜ ( ∀ a ∈ ℜ, a² > 0, puesto que a < 0 ⇒ a·a > a·0 ⇒ a² > 0 y si a > 0 ⇒ a·a > 0·a ⇒ a² > 0). Este el fallo de ℜ.
En la nueva extensión del concepto de número que vamos a hacer (números complejos) se verifica el siguiente teorema fundamental del álgebra.
Todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en C.
Esta última extensión del conjunto de números halla aquella ganancia (TFA) pero también una pérdida importante, la del orden.
El cuerpo de los números complejos es simplemente el conjunto ℜ×ℜ de pares ordenados de números reales, dotado de las operaciones:
Adición:
(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
La adición es asociativa, conmutativa, con neutro y opuesto.
Asociativa
(a, b) + [(c, d) + (e, f)] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + b + e, b + d + f) = (a + c, b + d) + (e, f) = [(a, b) + (c, d)] + (e, f)
Conmutativa:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)
Neutro:
(a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
Opuesto:
(a, b) + (-a, -b) = (a - a, b - b) = (0, 0)
Multiplicación:
(a, b)·(c, d) = (a·c - b·d, a·d + b·c)
La multiplicación es asociativa, conmutativa, con unidad e inverso.
Asociativa:
(a, b)·[(c, d)·(e, f)] = (a, b)·(c·e - d·f, c·f + d·e) = (a·c - b·d, a·d + b·c)·(e, f) = [(a, b)·(c, d)]·(e, f)
Conmutativa:
(a, b)·(c, d) = (a·c - b·d, a·d + b·c)
Con unidad:
(a, b)·(1, 0) = (a·1 - b·0, a·0 + b·1) = (a, b)
Con inverso:
(a, b)·(a, b)⁻¹ = (1, 0)
Distributiva:
(a, b)·[(c, d) + (e, f)] = (a, b)·(c + e, d + f) = (a·(c + e) - b·(d + f), a·(d + f) + b·(c + e)) = (a·c - b·d, a·d + b·c) + (a·e - b·f, a·f + b·e) =
= (a, b)·(c, d) + (a, b)·(e, f)
(C, +, ·) es un cuerpo en el que se sumerge el cuerpo (ℜ, +, ·):
x ∈ ℜ ⟶ (x, 0) ∈ C
Ver que:
- j·(x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = j·(x) + j·(y)
- j·(x·y) = (x·y, 0) = (x, 0)·(y, 0) = j·(x)·j·(y)
Para obtener el inverso (a, b)⁻¹ basta resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resulta de (a, d)·(x, y) = (1, 0)
- a·x - b·y = 1
- b·x + a·y = 0
|a - b|
Tiene una única solución si sólo si |b·a| = a² - b² ≠ 0, es decir, si sólo si (a, b) ≠ (0, 0)
Ver que si estamos en cuerpo ordenado como ℜ (14 propiedades), se verifican estas cosas:
a < b, c < 0 ⇒ a·c < b·c
a < 0 ⇒ a + (-a) < 0 + (-a) ⇒ 0 < -a
0 < 1
∀ a ≠ 0, a² > 0
Suponiendo eso, veamos que C no puede darse un orden que sea compatible con las operaciones (C no es un cuerpo ordenable).
Supongamos que < fuera un orden en C compatible con las operaciones. Entonces: (0,1)² > (0, 0), pero (0, 1)² = (-1, 0) = -(1, 0) > (0, 0) ⇒ (1, 0) < (0, 0) (unidad menor que neutro).
En C pueden definirse relaciones de orden, incluso todas (antisimétrica, transitiva, total), pero ninguna de ellas es compatible con las operaciones.
Ejemplo: El orden lexicográfico (el de los diccionarios)
(a, b) < (c, d): ⇔ a < c ó a = c, b < d
Ejemplo nº 1
Ver que esa relación es transitiva, antisimétrica, total ¿Con cuál de las operaciones no es compatible?
Transitiva:(a, b) < (c, d), (c, d) < (e, f) ⇒ (a, b) < (e, f)
Antisimétrica: (a, b) < (c, d), (c, d) < (a, b) ⇒ (a, b) = (c, d)
Total: (a, b) ≠ (c, d) ⇒ (a, b) < (c, d) ó (c, d) < (a, b)
No es compatible con la multiplicación:
(1, 2) < (1, 3) pero (1, 2) (2, 3) = (2 - 6, 3 + 4) = (-4, 7) > (1, 3) (2, 3) = (2 - 9, 3 + 6) = (-7, 9)
Lo mismo que el racional [(1, 2)] no suele denotarse de esa forma, sino ½. El complejo (a, b) tampoco suele denotarse de esta forma, sino a + b·i. Entonces las operaciones entre complejos se hacen como si los complejos a + b·i, c + d·i fueran polinomios de grado uno en la indeterminada i, con el convenio añadido de que i² = -1
En el complejo (a, b) ó a + b·i, de a se dice que es la parte real y de b se dice que es la parte imaginaria.
Re (a + b·i) = a
Im (a + b·i) = b
(C, +, ·) es algebraicamente cerrado, es decir, se verifica el teorema fundamental del álgebra (todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en él).
Módulo de un número complejo:
Por definición se llama módulo de a + b·i al número real no negativo:
|a + b·i| = √(a² + b²)
Sabemos que todo número real no negativo tiene una y sólo una raíz real.
Ejemplo de cálculo del módulo de un número complejo
|z₁ + z₂| = |a + b·i + b + d·i| = |(a + c) + (b + d)·i| ≤ |a| + |c| + |b|·i + |d|·i = |a + b·i| + |c + d·i| = |z₁| + |z₂|
|z₁z₂| = |(a + b·i)·(c + d·i)| = |a + b·i|·|c + d·i| = |z₁|·|z₂|
|z⁻¹| = |z|⁻¹
|-z| = |z|
La notación para el módulo en C es la misma que la de valor absoluto en ℜ, por la sencilla razón de que: ∀ x ∈ ℜ, |x| = |x + 0·i|
El módulo extiende a C el valor absoluto que teníamos en ℜ, se llama argumento del complejo a + b·i ≠ 0 al ángulo que forma su a fijo con el semieje positivo de abscisas, medido en el sentido directo.
| θ = | arccos a | = | arccos b |
| √(a² + b²) | √(a² + b²) |
|a + b·i| = ξ
a + b·i = ξ·(cos θ + i·sen θ)
Multiplicación de números complejos:
a + b·i = ξ·(cos θ + i·sen θ)
c + d·i = ξ'·(cos θ' + i·sen θ')
(a + b·i)·(c + d·i) = (a·c - b·d) + (a·d + b·c)·i = ξ·ξ'·[(cos θ)·(cos θ') - (sen θ)·(sen θ') + i·(cos θ)·(sen θ') + (sen θ)·(cos θ')]
El producto del complejo de módulo ξ y argumento θ por el complejo de módulo ξ' y argumento θ', es el complejo de módulo ξ·ξ' y argumento θ + θ'
Luego de lo anterior obtenemos:
ξ·(cos θ + i·sen θ)ⁿ = ξ·(cos n·θ + i·sen n·θ)
De ahí obtenemos inmediatamente que todo número complejo distinto de 0 tiene exactamente n raíces distintas de orden n.
ξ1/n[(cos θ)/n + i·(sen θ)/n]
ξ1/n(cos (θ + 2·Π)/n + i·sen (θ + 2·Π)/n)
ξ1/n(cos (θ + 4·Π)/n + i·sen (θ + 4·Π)/n)
ξ1/n(cos (θ + 2·k·Π)/n + i·sen (θ + 2·k·Π)/n) (K = 0, 1, 2, …) fórmula De Moivre
Geométricamente:
Para n = 5. Pentágono regular de radio ξ1/n inscrito en una circunferencia.
Nos falta decir que es el conjugado de un número complejo: z = a - b·i
Expresión decimal de los números reales:
Suponemos conocida la forma "decimal" (en vez de cómo "quebrado" de enteros) de expresar los números racionales. Y también que una expresión decimal a'b₁b₂b₃ … es de un número racional si sólo si es periódica.
La expresión decimal periódica del número 3/7 la da el algoritmo de la división:
3/7 = 0'428571 ……
El período puede ser 0, en cuyo caso el número es "exacto". Sin embargo, es fácil razonar que todo número racional exacto (con período 0) admite otra expresión equivalente con período 9.
38'263 = 38'262.999 …
Hemos recordado como obtener la expresión decimal de un número racional dado como "quebrado" (par de números enteros)
Recíprocamente sabemos como se obtiene, dada la expresión decimal periódica, el "quebrado" al que representa.
23'97.253 = 23 + 97.253/99.900
Hay una relación entre la fracciones y la expresiones decimales periódicas.
Naturalmente, dado un número real x existe el mayor entero ≤ α, también el mayor racional exacto con una cifra decimal ≤ α, también el mayor racional exacto con dos cifras decimales, etc.
Al primero lo llamamos a, al segundo a'b₁, ……
Así obtenemos en sucesión de Cauchy de números racionales (a, a'b₁, a'b₁b₂, a'b₁b₂b₃,..) que es fácil ver que representa a α, es decir, α = [(a, a'b₁, a'b₁b₂, a'b₁b₂b₃, …)]. La expresión decimal de α es a'b₁b₂b₃ …… y sabemos que es periódica si sólo si α el racional.
Definición:
Sea A un conjunto infinito (con infinitos elementos)
Se dice que A es numerable cuando se puede establecer una biyección entre A y el conjunto N de los números naturales.
Ejemplo de conjuntos numerables y no numerables
El conjunto P, de los números pares positivos es numerable.
| N ⟶ | P |
| 1 2 3 n | 2 4 6 2·n |
Nótese que cuando se trata de conjuntos finitos es imposible establecer una biyección entre el todo y la parte.
El conjunto Z de los número enteros es numerable
| N ⟶ | Z | |
| 0 | 0 | |
| 1 | 1 | (n + 1)/2 si n impar |
| 2 | -1 | |
| 3 | 2 | n ∈ N |
| 4 | -2 | |
| 5 | 3 | -n/2 si n par |
| 6 | -3 |
El conjunto Q de los números racionales es numerable:
| Q | |
| -⅓ -½ -1/1 -⅔ -2/2 -2/1 -3/3 -3/2 -3/1 | 1/1 ½ ⅓ 2/1 2/2 ⅔ 3/1 3/2 3/3 |
| N ⟶ | Q | |
| 0 | 0 | |
| 1 | 1/1 | |
| 2 | 2/1 | Proceso diagonal de Cantor |
| 3 | -2/1 | |
| 4 | -1/1 | |
| 5 | ½ | |
| 6 | 3/2 |
¿Hay algún conjunto intermedio entre Q y ℜ tal que se pueda establecer una biyección entre Q y él ni entre él y ℜ.
El conjunto ℜ de los números reales no es numerable, es decir, no se puede establecer ninguna aplicación 1 a 1 entre N y ℜ. Bastará ver que ninguna aplicación:
| N ⟶ | R |
| 1 2 3 | a₁'b₁₁b₁₂b₁₃ …… a₂'b₂₁b₂₂b₂₃ …… a₃'b₃₁b₃₂b₃₃ …… |
En el conjunto imagen de esta aplicación no está el número real c' d₁d₂d₃ … donde: dₖ = 1 si bₖₖ ≠ 1, dₖ = 3 si bₖₖ = 1
Tenemos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ ℜ donde N; Z; Q son numerables y ℜ no es numerable
¿Existirá A, Q ⊂ A ⊂ ℜ tal que no exista biyección entre A y Q ni entre A y R?
Si se supone que si existe tal A no se llega a contradicción.
Si se supone que no existe, tampoco se llega a contradicción.
En otras palabras, es imposible encontrar tal A, es imposible probar que no existe.
Ejemplos de conjuntos numerables y no numerables
Ejemplo nº 1
que la unión finita o numerable de conjuntos numerables es numerable:
Indicación: Si A₁, A₂, …, son numerables entonces se puede escribir:
A₁ = {a₁₁, a₁₂, a₁₃, ……}
A₂ = {a₂₁, a₂₂, a₂₃, ……}
A₃ = {a₃₁, a₃₂, a₃₃, ……}
………………………………
………………………………
A₁ ∪ A₂ U ……… = {a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₁₃, a₂₂, a₃₁, a₁₄, a₂₃, a₃₂, a₄₁, ………}
Esto es el proceso diagonal:
| a₁₁, a₁₂, a₁₃, …… | N ⟶ | A₁ ∪ A₂ U …… |
| a₂₁, a₂₂, a₂₃, …… | 1 | a₁₁ |
| a₃₁, a₃₂, a₃₃, …… | 2 | a₁₂ |
| 3 | a₂₁ | |
| 4 | a₁₃ |
Ejemplo nº 2
El producto finito de conjuntos numerables es numerable:
Para dos conjuntos:
A = {a₁, a₂, a₃, ………}
B = {b₁, b₂, b₃, ……}
| A×B: | (a₁, b₁) (a₁, b₂) (a₁, b₃) ………… |
| (a₂, b₁) (a₂, b₂) (a₂, b₃) ………… | |
| (a₃, b₁) (a₃, b₂) (a₃, b₃) ………… |
| N ⟶ | A | N ⟶ | B |
| 1 2 3 | a₁ a₂ a₃ | 1 2 3 | b₁ b₃ b₃ |
| N ⟶ | A×B |
| 1 2 3 4 | (a₁, b₁) (a₁, b₂) (a₂, b₁) (a₁, b₃) |
Definición:
Un número real se dice que es algebraico si es raíz de algún polinomio con coeficientes racionales (equivalente enteros).
⅔·x² - ½·x + 1 ≡ 4·x² - 3·x + 6
Ejemplo: Todos los números racionales son algebraicos.
A/b es raíz de x - a/b
También es algebraico todo real de la forma.
ⁿ√a con n ∈ N y a ∈ Q₊ es raíz de x - a
Se puede probar que Π y e no son algebraicos. Los números reales que no son algebraicos se llaman transcendentes (Π y e son transcendentes).
Ejemplo nº 3
Ver que el conjunto A ⊂ ℜ de los números reales algebraicos es numerables.
La demostración se hace teniendo en cuenta lo siguiente:
a) Que Q es numerables
b) Que, como consecuencia de (a) y de los ejercicios anteriores, el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en Q es numerable
c) Que un polinomio de grado n con coeficientes en Q tiene, a lo sumo, n raíces reales
Autor: Daniel Fernández. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).