Investigación transcendental sobre teoría de números elementales (segunda parte)

La verdadera y completa solución

Demostraremos, que una terna Pitagórica es original, si y solo si satisface los parámetros que posteriormente serán definidos, tales parámetros determinan que las ternas originales se configuran exclusivamente en la forma: [X, Y, (Y + 1)], de manera que x² + Y² = (Y + 1)²

Denomino original a toda terna Pitagórica cuya configuración corresponde al modelo anterior.

A continuación muestro la forma en que represento las diferentes clases de ternas

(x, y, z) Primitivas, de acuerdo con el método tradicional

(X, Y, Z) Originales, enteras o fraccionarias.

(a, b, c) Primarias.

Bajo el criterio vigente x es par e y es impar, bajo el nuevo X es impar, mientras que Y es par.

Cuando n es una fracción, la llamo fracción generatriz y la represento como p/q.

Se considera, sin pérdida de generalidad, que el lado menor de cualquier triángulo rectángulo, es siempre adyacente al ángulo denominado α, lo cual implica que cos α es siempre menor que sen α.

Los conjuntos involucrados en las demostraciones se simbolizan de la forma siguiente:

Ζ⁺ = Enteros positivos.

Q = Fracciones racionales positivas.

Φ = Fracciones irracionales positivas.

Se restringe el nuevo criterio, sin pérdida de generalidad, al primer cuadrante, es decir a ángulos comprendidos entre cero y π/2, por lo tanto, a enteros positivos y fracciones positivas racionales o irracionales.

Teorema (1-B):

Para cada n = {1, 2, 3, 4, 5, …, existen tres números enteros (X, Y, Z), de tal manera, que satisfacen las siguientes condiciones:

x² + Y² = Z² (E-4)

X·(X + 1) = X + Y + Z (E-5)

x² = Y + Z (E-6)

x² = 2·Y + 1 (E-7)

Z = Y +1 (E-8)

x² ≡ 1 (módulo 2) (C-1)

x² ≡ 1 (módulo 4) (C-2)

Y ≡ 0 (módulo 4) (C-3)

Y² ≡ 0 (módulo 16) (C-4)

Z ≡ 1 (módulo 2) (C-5)

Z ≡ 1 (módulo 4) (C-6)

Z² ≡ 1 (módulo 8) (C-8)

Lema (1-B).-Sí x² + Y² = Z² y sí Z = (Y + 1) entonces (x² + Y²) es equivalente a un trinomio cuadrado perfecto, en la forma siguiente: x² + Y² = (Y + 1)² = (Y² + 2·Y + 1) = Z²

Como (x² + Y² = Z²), siendo Z = (Y + 1), esto implica que (Y + 1)² = Z², reemplazando

Z² por (Y + 1)² en (x² + Y² = Z²) resulta que x² + Y² = (Y + 1)² = (Y² + 2·Y + 1).

El siguiente es un resumen del proceso empleado para encontrar la sucesión pertinente:

Las siguientes ternas (X, Y, Z), en las cuales Z = (Y + 1), satisfacen (x² + Y² = Z²)

{(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85), (15 112, 113), …, (X, Y, Z)}

Los números resaltados: {4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, …, ∞, son las magnitudes correspondientes al lado Y para todo triángulo cuyos lados [X, Y, (Y + 1)] satisfacen x² + Y² = (Y + 1)²

En la siguiente tabla, sin tomar en cuenta el factor (2²), el primer término de cada binomio, dentro del paréntesis subrayado en la columna a la izquierda, es igual a la suma de los dos términos contenidos dentro del paréntesis anterior, también subrayado, El segundo término del mismo binomio, es igual al segundo término del binomio precedente, incrementado en 1.

También, cada binomio sobre la misma primera columna, es equivalente a la adición de los enteros sucesivos expresados dentro del paréntesis inmediato a la derecha.

4 = 4·1 = 2²·(0 + 1) = 2²·(0 + 1)----------------n = 1 ⇒ Y = 2·n·(n + 1) = 2·1·(1 + 1)

12 = 4·3 = 2²·(1 + 2) = 2²·(1 + 2)----------------n = 2 ⇒ Y = 2·n·(n + 1) = 2·2·(2 + 1)

24 = 4·6 = 2²·(3 + 3) = 2²·(1 + 2 + 3)-------------n = 3 ⇒ Y = 2·n·(n + 1) = 2·3·(3 + 1)

40 = 4·10 = 2²·(6 + 4) = 2²·(1 + 2 + 3 + 4)----------n = 4 ⇒ Y = 2·n·(n + 1) = 2·4·(4 + 1)

Por lo tanto, para cada n = {1, 2, 3, 4, 5, …, -existe una terna [X, Y, (Y + 1)], de tal forma, que satisface x² + Y² = (Y + 1)² en la cual Y es equivalente a (2²) multiplicado por la suma de los enteros consecutivos contenidos entre 1 y n.

Es conocido que la suma de una sucesión de enteros positivos entre 1 y n, es equivalente a la mitad del producto de n por su sucesor, como se muestra a continuación:

Ejemplo de una sucesión de enteros positivos

Lema (2-B). Por lo tanto,

Sí X es un número impar mayor que 1 que corresponde a la forma X = (2·n + 1), aplicando entonces para hallar Z un proceso similar al usado para encontrar Y, resulta:

Para todo n = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, se cumple que:

De igual manera, las anteriores expresiones satisfacen (E-4), (E-5), (E-6), (E-7), (E-8), como sigue:

X² = (2·n + 1)² = 4·n² + 4·n + 1

Y² = [2·n·(n + 1)]² = 4·n⁴ + 8·n³ + 4·n²

Z² = [2·n·(n + 1) + 1]² = 4·n⁴ + 8·n³ + 8·n² + 4·n + 1

(X² + Y²) = (2·n + 1)² + [2·n·(n + 1)]²

(X² + Y²) = 4·n² + 4·n + 1 + 4·n⁴ + 8·n³ + 4·n²

(X² + Y²) = 4·n⁴ + 8·n³ + 8·n² + 4·n + 1 = Z² (E-4)

X + Y + Z = 2·n + 1 + 2·n·(n + 1) + 2·n·(n + 1) + 1

X + Y + Z = 2·n + 1 + 2·n² + 2·n + 2·n² + 2·n + 1

X + Y + Z = 4·n² + 6·n + 2

X + Y + Z = (2·n + 1)·(2·n + 2) = X·(X + 1) (E-5)

Y + Z = 2·n·(n + 1) + 2·n·(n + 1) + 1

Y + Z = 2·n² + 2·n + 2·n² + 2·n + 1

Y + Z = 4·n² + 4·n + 1

Y + Z = (2·n + 1)² = X² (E-6)

2·Y + 1 = 2·[2·n·(n + 1)] + 1

2·Y + 1 = 2·(2·n² + 2·n) + 1

2·Y + 1 = 4·n² + 4·n + 1

2·Y + 1 = (2·n + 1)² = X² (E-7)

Z = 2·n·(n + 1) + 1 = Y + 1 (E-8)

Observaciones:

Para que una terna de números enteros, (X, Y, Z) sea original, los tres términos tienen que ser una función de la sumatoria:

Para que cualquier impar (X = 2·n + 1), sea primo, necesariamente (2·n)! ≡ 1 módulo (2·n + 1)

Representaré la función correspondiente a la sumatoria de fracciones así:

Teorema (1-D):

Para cada fracción (p/q), racional o irracional, mcd(p, q) = 1, existen tres fracciones racionales o irracionales, (X = h/e), (Y = t/d), (Z = s/d) mcd(h, t, s, e) = 1, de tal forma, que satisfacen las siguientes condiciones:

(X² + Y² = Z²) = [(h/e)² + (t/d)² = (s/d)²] (E-4)

X·(X + 1) = X·(X + Y + Z) = (h/e)·(h/e + 1) = (h/e + t/d + s/d) (E-2)

X² = Y + Z = (h/e)² = (t/d) + (s/d) (E-6)

X² = 2·Y + 1 = (h/e)² = 2·(t/d) + 1 (E-7)

Z = Y + 1 = s/d = t/d + 1 (E-8)

Lema (1-D). Conformación de las ternas originales fraccionarias

Las ternas: (a, b, c) = (45, 28, 53), (55, 48, 73), (95, 168, 193), satisfacen (a² + b² = c²)

Dividiendo los tres términos de cada una de estas ternas por (c - b) = 25, que es común para las tres, obtenemos respectivamente las siguientes ternas formadas por tres fracciones a las cuales representaremos en forma general como (X, Y, Z), y que satisfacen

(x² + Y² = Z²), (9/5, 28/25, 53/25), (11/5, 48/25, 73/25), (19/5, 168/25, 193/25)

Los valores correspondientes a Y, para cada una de estas ternas son: 28/25, 48/25, 168/25

A continuación determinaré el patrón que rige su conformación.

Emplearé indistintamente fₙ y f_(p/q) para representar la función:

28/25 = 2²·7/25 = 2²·f

Están conformadas de acuerdo a un mismo patrón, así:

e

Y = 2²·f_(p/q)

Si q es impar y como mcd(p, q) = 1, esto implica que:

Representando por λ y η, respectivamente, los numeradores del primero (q + 1)/2 y del último término (2·p + q - 1)/2 de la sumatoria, esta se reduce a la forma siguiente:

Como λ = (q + 1)/2, entonces si q es impar, (q + 1) es par, de manera que, 2 aparece como factor en la descomposición de (q + 1) en factores primos, por lo tanto, (q + 1) es divisible por 2. Esto implica que tanto λ como los demás numeradores de los términos de la sumatoria se reducen a enteros.

Sí q es par implica que (q + 1) es impar y, por lo tanto, no divisible por 2, entonces λ y los demás numeradores de los diferentes términos de la sumatoria son fracciones irreducibles a enteros

Email: rubenmore@hotmail.com

Cartagena de Indias. Colombia.

Ingeniero Industrial egresado de la Universidad Tecnológica de Bolivar.

Experto en procesos industriales de polimerización.

Bibliografía:

"13 lectures on Fermat's last theorem", Paulo Ribemboim.

Autor: Rubén Moré Argel. Ingeniero Industrial. Colombia.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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