Investigación transcendental sobre teoría de números elementales (cuarta parte)
• Continuación:
Para el desarrollo de la sumatoria en el tercer caso, es decir cuando p y q son irracionales, también resulta evidente la necesidad de racionalizar p.
| p | = | √3 | = | √3·√3 | = | 3 |
| q | π | π·√3 | π·√3 |
| p | = | 3 | ⇒ | q + 1 | = λ = | π·√3 + 1 |
| q | π·√3 | 2 | 2 |
| 2·p + q - 1 | = | 2·3 + π·√3 - 1 | = η = | π·√3 + 4 |
| 2 | 2 | 2 |
| λ + 1 | = | π·√3 + 1 | + 1 = | π·√3 + 3 |
| 2 | 2 |
| λ + 2 | = | π·√3 + 3 | + 1 = | π·√3 + 5 |
| 2 | 2 |
El número de términos es: Nₜ = p = 3.
| f(3/π·√5) = | λ | + | λ + 1 | + | λ + 2 |
| q² | q² | q² |
| f(3/π·√5) = | = | (π·√3 + 1) + (π·√3 + 3) + (π·√3 + 5) | = | 3 + π·√3 |
| 2·(π·√3)² | 2·π² |
Despejando Y a partir de la fracción inicial √3/π, sin racionalizar √3:
| Y = | p | ·( | p | + 1) |
| 2·q | q |
| Y = | 2·√3 | ·( | √3 | + 1) |
| π | π |
| Y = | 2·√3 | · | √3 + π |
| π | π |
| Y = | 2·(3 + π·√3) | , |
| π² |
dado que Y = 2²·f(√3/π)
Entonces:
| Y = | 3 + π·√3 | ⇒ f(√3/π) = | 3 + π·√3 |
| π² | 2·π² |
Por lo tanto:
| ∀ p/q,(p, q) ∈ Φ: | p | ·( | p | + 1) = { | n/q² ∑ i = λ/q² | i} ⇒ Y = 2²·{ | n/q² ∑ i = λ/q² | i} = | 2·p | ·( | q | + 1) |
| 2·q | q | q | q |
Para el mismo tercer caso, si (p, q) son irracionales propios, se procede en general de la siguiente manera:
(Denomino irracionales propios a los irracionales cuya racionalización es imposible).
(Selecciono 2 como factor auxiliar en el numerador y denominador de la fracción generatriz, ya que así se reducen a este número los términos de la sumatoria).
| p | = | π | = | 2·π | = | 2 |
| q | e | 2·e | 2·e/π |
| λ = | q + 1 | = | 2·e/π + 1 | = | 2·e + π |
| 2 | 2 | 2·π |
| η = | 2·p + q - 1 | = | 2·2 + 2·e/π - 1 | = | 2·e + 3·π |
| 2 | 2 | 2·π |
Cuando (p = 2), (λ + 1) = η, como en el caso siguiente:
| 2·e + π | + 1 = | 2·e + 3·π |
| 2·π | 2·π |
| f[2/(2·e/2·π)] = | λ | + | λ + 1 | = |
| q² | q² |
| = | 2·e + π + 2·e + 3·π | = |
| 2·(2·e/π)² |
| f[2/(2·e/2·π)] = | π·(e + π) |
| 2·e² |
Despejando Y a partir de la fracción inicial π/ε,
| Y = | p | ·( | p | + 1) |
| 2·q | q |
| Y = | 2·π | ·( | π | + 1) = | 2·π·(e + π) |
| e | e | e² |
| f(π/e) = | λ | + | λ + 1 | = |
| q² | q² |
| = | 2·e + π + 2·e + 3·π | = |
| 2·(2·e/π)² |
| f(π/e) = | π·(e + π) |
| 2·e² |
| Y = 2²·f(p/q) = | 2·π·(e + π) |
| e² |
| f(p/q) = | π·(e + π) |
| 2·e² |
Por lo tanto, para toda fracción p/q, (p, q) irracionales propios,
| p | ·( | p | + 1) = { | n/q² ∑ i = λ/q² | i} |
| 2·q | q |
Como:
| Y = 2²·{ | n/q² ∑ i = λ/q² | i} ⇒ Y = | 2·p | ·( | p | + 1), |
| q | q |
correspondiendo Y a una terna (X, Y, Z) que satisface las 8 condiciones establecidas en el teorema (1-D), aplicando entonces para X y Z, resulta:
| X = | h | = [2³·{ | n/q² ∑ i = λ/q² | i} + 1]½ = | 2·p | + 1 (E-1) |
| e | q |
| Y = | t | = 2²·{ | n/q² ∑ i = λ/q² | i} = | 2·p | ·( | p | + 1) (E-2) |
| d | q | q |
| Z = | s | = 2²·{ | n/q² ∑ i = λ/q² | i} + 1 = | 2·p | ·( | p | + 1) + 1 (E-3) |
| d | q | q |
*En referencia a la representación de enteros positivos impares como la suma de dos cuadrados, las nuevas expresiones anteriormente expuestas, no son válidas únicamente para enteros como son los hallazgos en esta materia de Pierre de Fermat, Carl Friedrich Gauss y Karl Gustav Jacobi; sino que también aplican para fracciones tanto racionales como irracionales.
Corolario (1-B):
Dado que x² = (Y + Z) y (Z - Y) = 1, esto implica, que el cuadrado de todo número impar mayor que 1, es igual a la suma de dos números enteros consecutivos, así:
X = (Y + Z) = (h/e)² = (t/d) + (s/d) (E-6)
Z = (Y + 1) = s/d = (t/d + 1) ⇒ (Z - Y = 1) (E-8)
Corolario (1-C):
Dado que [(h/e)² + (t/d)² = (s/d)²], entonces, e = 2 ⇒ h/e es igual a un entero par y como (s/d - t/d = 1), resulta que el cuadrado de todo número impar es igual a la suma de dos fracciones racionales consecutivas.
(Consideramos que dos fracciones son consecutivas cuando su diferencia es 1).
Ejemplos:
Si p/q = ½ ⇒ (h/e)² = (t/d) + (s/d) ⇒ (2² = 3/2 + 5/2) ⇒ (5/2 - 3/2 = 1)
Si p/q = 3/2 ⇒ (h/e)² = (t/d) + (s/d) ⇒ (4² = 15/2 + 17/2) ⇒ (17/2 - 15/2 = 1)
Si p/q = 5/2 ⇒ (h/e)² = (t/d) + (s/d) ⇒ (6² = 35/2 + 37/2) ⇒ (37/2 - 35/2 = 1)
Email: rubenmore@hotmail.com
Cartagena de Indias. Colombia.
Ingeniero Industrial egresado de la Universidad Tecnológica de Bolivar.
Experto en procesos industriales de polimerización.
Bibliografía:
"13 lectures on Fermat's last theorem", Paulo Ribemboim.
Autor: Rubén Moré Argel. Ingeniero Industrial. Colombia.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).