Problema nº 3 de operaciones con números reales, radicación - TP08
Resolver los siguientes ejercicios
Problema nº 3
Efectuar las siguientes operaciones:
a)
3·∛2 - ∛16 + 5·∛54 =
Solución
Buscamos el m.c.m. de cada uno de los radicandos:
= 3·∛2 - ∛2⁴ + 5·∛2·3³ =
= 3·∛2 - ∛2·2³ + 5·∛2·3³ =
Aplicamos distributiva con respecto al producto en las raíces:
= 3·∛2 - ∛2³·∛2 + 5·∛3³·∛2 =
Resolvemos:
= 3·∛2 - 2·∛2 + 5·3·∛2 =
= 3·∛2 - 2·∛2 + 15·∛2
Sumamos y expresamos el resultado:
3·∛2 - ∛16 + 5·∛54 = 16·∛2
b)
| 1 | ·∛16/27 - | 5 | ·∛54 + 3·∛2/125 = |
| 5 | 2 |
Solución
Buscamos el m.c.m. de cada uno de los radicandos:
| = | 1 | ·∛2·2³/3³ - | 5 | ·∛2·3³ + 3·∛2/5³ = |
| 5 | 2 |
Aplicamos distributiva con respecto al producto y a la división en los radicandos:
| = | 1 | ·∛2· | ∛2³ | - | 5 | ·∛3³·∛2 + 3· | ∛2 | = |
| 5 | ∛3³ | 2 | ∛5³ |
Resolvemos:
| = | 1 | ·∛2· | 2 | - | 5 | ·3·∛2 + 3· | ∛2 | = |
| 5 | 3 | 2 | 5 |
| = | 2 | ·∛2 - | 15 | ·∛2 + | 3 | ·∛2 = |
| 15 | 2 | 5 |
Sumamos las fracciones, el denominador común es "30":
| = | 2·2 - 15·15 + 3·6 | ·∛2 = |
| 30 |
| = | 4 - 225 + 18 | ·∛2 = |
| 30 |
| = | -203 | ·∛2 |
| 30 |
Expresamos el resultado:
| 1 | ·∛16/27 - | 5 | ·∛54 + 3·∛2/125 = | -203 | ·∛2 |
| 5 | 2 | 30 |
c)
| 3 | ·∛2·x⁶ - | 1 | ·∛16·x³ + | 2 | ·∛2 = |
| 2 | 6 | 5 |
Solución
Buscamos el m.c.m. de cada uno de los radicandos:
| = | 3 | ·∛2·x⁶ - | 1 | ·∛2·2³·x³ + | 2 | ·∛2 = |
| 2 | 6 | 5 |
Aplicamos distributiva con respecto al producto en las raíces:
| = | 3 | ·∛x⁶·∛2 - | 1 | ·∛2³·x³·∛2 + | 2 | ·∛2 = |
| 2 | 6 | 5 |
Resolvemos:
| = | 3 | ·x²·∛2 - | 1 | ·2·x·∛2 + | 2 | ·∛2 = |
| 2 | 6 | 5 |
| = | 3 | ·x²·∛2 - | 1 | ·x·∛2 + | 2 | ·∛2 |
| 2 | 3 | 5 |
Expresamos el resultado:
| 3 | ·∛2·x⁶ - | 1 | ·∛16·x³ + | 2 | ·∛2 = | 3 | ·x²·∛2 - | 1 | ·x·∛2 + | 2 | ·∛2 |
| 2 | 6 | 5 | 2 | 3 | 5 |
d)
∛320 - ∛135 + ∛625 =
Solución
Buscamos el m.c.m. de cada uno de los radicandos:
= ∛2⁶·5 - ∛3³·5 + ∛5³·5 =
Aplicamos distributiva con respecto al producto en las raíces:
= ∛2⁶·∛5 - ∛3³·∛5 + ∛5³·∛5 =
Resolvemos:
= 2²·∛5 - 3·∛5 + 5·∛5 =
= 4·∛5 - 3·∛5 + 5·∛5
Sumamos y expresamos el resultado:
∛320 - ∛135 + ∛625 = 6·∛5
e)
√25/18 + √40/27 + √⅚ =
Solución
Buscamos el m.c.m. de cada uno de los radicandos:
= √5²/3²·2 + √2²·2·5/3²·3 + √⅚ =
Aplicamos distributiva con respecto al producto y a la división en los radicandos:
| = | √5 | + | √2²·√2·5 | + | √5 | = |
| √3²·√2 | √3²·√3 | √6 |
Resolvemos:
| = | √5 | + | 2·√2·5 | + | √5 | = |
| 3·√2 | 3·√3 | √2·3 |
Sumamos las fraccciones:
| = | √3·√5 + 2·√2·√2·5 + 3·√5 | = |
| 3·√2·3 |
| = | √3·5 + 2·√2·2·√5 + 3·√5 | = |
| 3·√2·3 |
| = | √3·5 + 2·2·√5 + 3·√5 | = |
| 3·√2·3 |
Racionalizamos el denominador:
| = | (√3·5 + 2·2·√5 + 3·√5)·√2·3 | = |
| 3·√2·3·√2·3 |
| = | √3·5·√2·3 + 4·√5·√2·3 + 3·√5·√2·3 | = |
| 3·(√2·3)² |
| = | √3·3·√2·5 + 4·√2·3·5 + 3·√2·3·5 | = |
| 3·2·3 |
| = | 3·√10 + 4·√30 + 3·√30 |
| 18 |
Sumamos y expresamos el resultado:
| √25/18 + √40/27 + √⅚ = | 3·√10 + 7·√30 |
| 18 |
f)
a·√x + 5·√a²·x - 12·√(a + b)²·x =
Solución
Aplicamos distributiva con respecto al producto en las raíces:
= a·√x + 5·√a²·√x - 12·√(a + b)²·√x =
Resolvemos:
= a·√x + 5·a·√x - 12·(a + b)·√x =
= 6·a·√x - 12·(a + b)·√x =
= 6·[a - 2·(a + b)]·√x =
= 6·(a - 2·a - 2·b)·√x =
= 6·(-a - 2·b)·√x
Expresamos el resultado:
a·√x + 5·√a²·x - 12·√(a + b)²·x = -6·(a + 2·b)·√x
g)
√x³·z/y³ + √x·z³/y³ + √x³·z³/y³ =
Solución
Aplicamos distributiva con respecto al producto y a la división en los radicandos:
= √x·x²·z/y·y² + √x·z·z²/y·y² + √x·x²·z·z²/y·y² =
| = | √x² | · | √x·z | + | √z² | · | √x·z | + | √x²·z² | · | √x·z | = |
| √y² | √y | √y² | √y | √y² | √y |
Resolvemos:
| = | x | · | √x·z | + | z | · | √x·z | + | x·z | · | √x·z | = |
| y | √y | y | √y | y | √y |
| = (x + z + x·z)· | √x·z | = |
| y·√y |
Racionalizamos el denominador:
| = (x + z + x·z)· | √x·z·√y | = |
| y·√y·√y |
| = (x + z + x·z)· | √x·y·z | = |
| y·(√y)² |
| = (x + z + x·z)· | √x·y·z |
| y·y |
Expresamos el resultado:
| √x³·z/y³ + √x·z³/y³ + √x³·z³/y³ = (x + z + x·z)· | √x·y·z |
| y² |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo de operaciones de radicación con números reales