Problemas nº 2-o y 2-p de racionalización de denominadores - TP09
Enunciado de los ejercicios nº 2-o y 2-p
Racionalizar los denominadores de las siguientes fracciones:
| o) | 3·√5 - √3 | = |
| 4·√5 + 5·√3 |
| p) | √a² + b² - √a² - b² | = |
| √a² + b² + √a² - b² |
Solución
Multiplicamos y dividimos la fracción por el radical que haga "1" al exponente fraccionario del denominador:
Siendo:
n + p = m
o)
| 3·√5 - √3 | = |
| 4·√5 + 5·√3 |
En el denominador podemos formar una diferencia de cuadrados con el binomio:
4·√5 - 5·√3
Multiplicamos numerador y denominador por el binomio propuesto:
| = | (3·√5 - √3)·(4·√5 - 5·√3) | = |
| (4·√5 + 5·√3)·(4·√5 - 5·√3) |
En el numerador aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
| = | 3·4·(√5)² - 3·5·√5·√3 - [4·√3·√5 - 5·(√3)²] | = |
| (4·√5)² - (5·√3)² |
| = | 12·5 - 15·√15 - (4·√15 - 5·3) | = |
| 16·5 - 25·3 |
| = | 60 - 15·√15 - 4·√15 + 15 | = |
| 80 - 75 |
| = | 75 - 19·√15 |
| 5 |
Expresamos el resultado:
| 3·√5 - √3 | = | 75 - 19·√15 |
| 4·√5 + 5·√3 | 5 |
p)
| √a² + b² - √a² - b² | = |
| √a² + b² + √a² - b² |
En el denominador podemos formar una diferencia de cuadrados con el binomio:
√a² + b² - √a² - b²
Multiplicamos numerador y denominador por el binomio propuesto:
| = | (√a² + b² - √a² - b²)·(√a² + b² - √a² - b²) | = |
| (√a² + b² + √a² - b²)·(√a² + b² - √a² - b²) |
Desarrollamos el binomio al cuadrado y la diferencia de cuadrados:
| = | (√a² + b²)² - 2·√a² + b²·√a² - b² + (√a² - b²)² | = |
| (√a² + b²)² - (√a² - b²)² |
| = | a² + b² - 2·√(a² + b²)·(a² - b²) + a² - b² | = |
| a² + b² - (a² - b²) |
| = | 2·a² - 2·√(a²)² - (b²)² | = |
| a² + b² - a² + b² |
| = | 2·a² - 2·√a⁴ - b⁴ | = |
| 2·b² |
Simplificamos:
| = | a² - √a⁴ - b⁴ |
| b² |
Expresamos el resultado:
| √a² + b² - √a² - b² | = | a² - √a⁴ - b⁴ |
| √a² + b² + √a² - b² | b² |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, como racionalizar denominadores