Problema nº 3 de división de polinomios por Ruffini - TP04

Enunciado del ejercicio nº 3

Dada la expresión:

S(x) = (x⁵ - x⁴ - 7·x³ + x² + k·x)÷(x² - 1)

a) Hallar, aplicando sucesivamente la regla de Ruffini, el valor de "k" para que el cociente sea exacto.

b) Decir para que valores no esta definido S(x).

c) Factorear S(x).

Solución

El divisor es una diferencia de cuadrados. Desarrollamos:

S(x) = (x⁵ - x⁴ - 7·x³ + x² + k·x)÷[(x - 1)·(x + 1)]

Por lo tanto, dividiremos por "x - 1" y por "x + 1".

Dividimos por x - 1:

	1	-1	-7	1	k	0

1		1	0	-7	-6	-6 + k
	1	0	-7	-6	-6 + k	-6 + k

R₁ = -6 + k

Dividimos por x + 1:

	1	-1	-7	1	k	0

-1		-1	2	5	-6	6 - k
	1	-2	-5	6	-6 + k	6 - k

R₂ = 6 - k

Para que el cociente sea exacto:

R₁ = 0 ⇒ -6 + k = 0 ⇒ k = 6

R₂ = 0 ⇒ 6 - k = 0 ⇒ k = 6

Reemplazamos y verificamos por el Teorema del Resto.

Para x = 1:

P(x) = x⁵ - x⁴ - 7·x³ + x² + 6·x

P(1) = 1⁵ - 1⁴ - 7·1³ + 1² + 6·1

P(1) = 1 - 1 - 7 + 1 + 6

P(1) = 0

Para x = -1:

P(-1) = (-1)⁵ - (-1)⁴ - 7·(-1)³ + (-1)² + 6·(-1)

P(-1) = -1 - 1 + 7 + 1 - 6

P(-1) = 0

El resultado es:

k = 6

S(x) está definido para:

x ≠ ±1

Para esos valores de "x" el denominador es nulo.

x⁵ - x⁴ - 7·x³ + x² + 6·x	=
(x - 1)·(x + 1)

Dividimos aplicando la regla de Ruffini para x - 1:

	1	-1	-7	1	6	0

1		1	0	-7	-6	0
	1	0	-7	-6	0	0

Queda:

=	(x⁴ - 7·x² - 6·x)·(x - 1)	=
	(x - 1)·(x + 1)

Dividimos aplicando la regla de Ruffini para x + 1:

	1	0	-7	-6	0

-1		-1	1	6	0
	1	-1	-6	0	0

Queda:

=	(x³ - x² - 6·x)·(x - 1)·(x + 1)	=
	(x - 1)·(x + 1)

Simplificamos:

=	(x³ - x² - 6·x)·(x - 1)·(x + 1)	=
	(x - 1)·(x + 1)

= x³ - x² - 6·x =

Extraemos factor común "x".

= x·(x² - x - 6) =

Resultado:

x⁵ - x⁴ - 7·x³ + x² + 6·x	= x·(x² - x - 6)
x² - 1

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo dividir polinomios por Ruffini