Problema nº 2 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP09

Enunciado del ejercicio nº 2

Determinar los valores de a, b, c y d sabiendo que:

a) 3 + 4·x + 5·x² + 7·x³ = a + (a + b)·x + (b - c)·x² + d·x³

b) 9·x² - 16·x + 4 = a·(x - 1)·(x - 2) + b·x·(x - 2) + c·x·(x - 1)

c) x + 2 = a·(x² + x + 1) + (b·x + c)·(x + 1)

Solución

3 + 4·x + 5·x² + 7·x³ = a + (a + b)·x + (b - c)·x² + d·x³

Igualamos y hallamos los coeficientes por potencia:

3 = a (1)

4·x = (a + b)·x ⇒ 4 = a + b (2)

5·x² = (b - c)·x² ⇒ 5 = b - c (3)

7·x³ = d·x³ ⇒ 7 = d (4)

Reemplazamos (1) en (2):

4 = a + b ⇒ 4 = 3 + b ⇒ b = 4 - 3

b = 1 (5)

Reemplazamos (5) en (3):

5 = b - c ⇒ 5 = 1 - c ⇒ c = 1 - 5

c = -4

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a = 3

b = 1

c = -4

d = 7

9·x² - 16·x + 4 = a·(x - 1)·(x - 2) + b·x·(x - 2) + c·x·(x - 1)

Desarrollamos el segundo término:

9·x² - 16·x + 4 = a·(x² - 2·x - x + 2) + b·x² - 2·b·x + c·x² - c·x

9·x² - 16·x + 4 = a·(x² - 3·x + 2) + b·x² - 2·b·x + c·x² - c·x

9·x² - 16·x + 4 = a·x² - 3·a·x + 2·a + b·x² - 2·b·x + c·x² - c·x

Agrupamos los términos por potencias de "x":

9·x² - 16·x + 4 = a·x² + b·x² + c·x² - 3·a·x - 2·b·x - c·x + 2·a

9·x² - 16·x + 4 = (a + b + c)·x² - (3·a + 2·b + c)·x + 2·a

Igualamos y hallamos los coeficientes por potencia:

a + b + c = 9 (1)

-(3·a + 2·b + c) = -16 ⇒ 3·a + 2·b + c = 16 (2)

2·a = 4 ⇒ a = 2 (3)

Reemplazamos (3) en (1) y (2):

a + b + c = 9 ⇒ 2 + b + c = 9 ⇒ b + c = 9 - 2 ⇒ b + c = 7 (4)

3·a + 2·b + c = 16 ⇒ 3·2 + 2·b + c = 16 ⇒ 6 + 2·b + c = 16 ⇒ 2·b + c = 16 - 6 ⇒ 2·b + c = 10 (5)

De (4) despejamos "b" y reemplazamos en (5):

b = 7 - c (6)

2·(7 - c) + c = 10

14 - 2·c + c = 10

-c = 10 - 14

-c = -4

c = 4

Reemplazamos en (6):

b = 7 - 4

b = 3

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a = 2

b = 3

c = 4

x + 2 = a·(x² + x + 1) + (b·x + c)·(x + 1)

Desarrollamos el segundo término:

x + 2 = a·x² + a·x + a + b·x² + b·x + c·x + c

Agrupamos los términos por potencias de "x":

x + 2 = a·x² + b·x² + a·x + b·x + c·x + a + c

x + 2 = (a + b)·x² + (a + b + c)·x + a + c

Igualamos y hallamos los coeficientes por potencia:

(a + b)·x² = 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ a = -b (1)

(a + b + c)·x = x ⇒ a + b + c = 1 (2)

a + c = 2 (3)

Reemplazamos (1) en (2):

a + b + c = 1 ⇒ -b + b + c = 1 ⇒ c = 1 (4)

Reemplazamos (4) en (3):

a + c = 2 ⇒ a + 1 = 2 ⇒ a = 2 - 1 ⇒ a = 1

De (1):

b = -a ⇒ b = -1

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a = 1

b = -1

c = 1

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio