Problema nº 2 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP10
Enunciado del ejercicio nº 2
Encontrar "a" y "b" para que los siguientes polinomios tengan una raíz con los valores indicados:
a) a·x⁴ + a·x² - x - 1 en x = 1
b) a·x⁵ + 3·x³ - b·x² + 1 en x = -1 y x = ½
Solución
a)
P(x) = a·x⁴ + a·x² - x - 1
x₁ = 1 ⇒ P(1) = 0
Hallamos el valor numérico de P(x) para x₁ = 1:
P(1) = a·1⁴ + a·1² - 1 - 1 = 0
a + a - 1 - 1 = 0
2·a - 2 = 0
Despejamos "a":
2·a = 2
a = 2/2
Resultado, el valor del coeficiente es:
a = 1
P(x) = x⁴ + x² - x - 1
b)
P(x) = a·x⁵ + 3·x³ - b·x² + 1
x₁ = -1 ⇒ P(-1) = 0
x₂ = ½ ⇒ P(½) = 0
Hallamos el valor numérico de P(x) para x₁ = -1:
P(-1) = a·(-1)⁵ + 3·(-1)³ - b·(-1)² + 1 = 0
a·(-1) + 3·(-1) - b·1 + 1 = 0
-a - 3 - b + 1 = 0
-a - b - 2 = 0 (1)
Hallamos el valor numérico de P(x) para x₂ = ½:
P(½) = a·(½)⁵ + 3·(½)³ - b·(½)² + 1 = 0
| a· | 1 | + 3· | 1 | - b· | 1 | + 1 = 0 |
| 32 | 8 | 4 |
| a | + | 3 | - | b | + 1 = 0 |
| 32 | 8 | 4 |
Sumamos las fracciones:
| a + 3·4 - b·8 + 32 | = 0 |
| 32 |
a + 12 - b·8 + 32 = 0·32
a - b·8 + 44 = 0 (2)
(1) y (2) forman un sistema de ecuaciones de 2 × 2. De (1) despejamos "a":
a = -b - 2 (3)
Reemplazamos "a" en la (2):
-b - 2 - b·8 + 44 = 0
Resolvemos:
-9·b + 42 = 0
Despejamos "b":
-9·b = -42
b = -42/-9
b = 14/3
Reemplazamos "b" en la (3):
| a = - | 14 | - 2 |
| 3 |
Resolvemos:
| a = | -14 - 2·3 |
| 3 |
| a = | -14 - 6 |
| 3 |
| a = | -20 |
| 3 |
Resultado, los valores de los coeficientes son:
| a = - | 20 |
| 3 |
| b = | 14 |
| 3 |
| P(x) = - | 20 | ·x⁵ + 3·x³ - | 14 | ·x² + 1 |
| 3 | 3 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio