Problema nº 6 de cálculo de los coeficientes de un polinomio - TP10

Enunciado del ejercicio nº 6

Hallar "a" y "b" para que las expresiones x⁴ + 1 y (x² + a·x + b)·(x² - a·x + b) sean iguales.

Solución

x⁴ + 1 = (x² + a·x + b)·(x² - a·x + b)

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

x⁴ + 1 = x⁴ + a·x³ + b·x² - (a·x³ + a²·x² + a·b·x) + b·x² + a·b·x + b²

x⁴ + 1 = x⁴ + a·x³ + b·x² - a·x³ - a²·x² - a·b·x + b·x² + a·b·x + b²

Agrupamos los términos por potencias de "x":

x⁴ + 1 = x⁴ + a·x³ - a·x³ - a²·x² + b·x² + b·x² - a·b·x + a·b·x + b²

x⁴ + 1 = x⁴ - a²·x² + 2·b·x² + b²

x⁴ + 1 = x⁴ - (a² - 2·b)·x² + b²

Para que se cumpla la condición los coeficientes de la expresión desarrollada deben ser iguales a los coeficientes del polinomio:

x⁴ = x⁴ ⇒ 1 = 1

-(a² - 2·b)·x² = 0·x² ⇒ -a² + 2·b = 0 (1)

b² = 1 (2)

De la ecuación (2) despejamos "b":

b = ±√1

b₁ = 1

b₂ = -1

De la ecuación (1) despejamos "a":

a² = 2·b

a = ±√2·b (3)

Reemplazamos los valores de "b" en la (3):

a₁ = ±√2·1

a₁ = ±√2

a₂ = ±√2·(-1)

a₂ = ±√-2 ∉ ℜ

Luego, se descarta "b₂":

b = b₁ = 1

De "a₁" tenemos dos resultados:

a₁ = √2

a₃ = -√2

Verificamos los coeficientes en la igualdad:

x⁴ + 1 = x⁴ - (a² - 2·b)·x² + b²

Para a₁ = √2:

x⁴ + 1 = x⁴ - [(√2)² - 2·1]·x² + 1²

x⁴ + 1 = x⁴ - (2 - 2)·x² + 1

x⁴ + 1 = x⁴ - 0·x² + 1

x⁴ + 1 = x⁴ + 1 ∎

Para a₁ = -√2:

x⁴ + 1 = x⁴ - [(-√2)² - 2·1]·x² + 1²

x⁴ + 1 = x⁴ - (2 - 2)·x² + 1

x⁴ + 1 = x⁴ - 0·x² + 1

x⁴ + 1 = x⁴ + 1 ∎

Resultado, los valores de los coeficientes son:

a = ±√2

b = 1

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo calcular los coeficientes de un polinomio