Problemas nº 9-a y 9-b de racionalización de denominadores - TP11
Enunciado del ejercicio nº 9 a y b
Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones y simplificar si es posible:
| a) | √3² + x² - √3² - x² | = |
| √3² + x² + √3² - x² |
| b) | 3·x² - y | = |
| ∛x²·y³ - x³·y² |
Solución
a)
| √3² + x² - √3² - x² | = |
| √3² + x² + √3² - x² |
En el denominador podemos formar una diferencia de cuadrados con el binomio:
√3² + x² - √3² - x²
Multiplicamos numerador y denominador por el binomio propuesto:
| = | √3² + x² - √3² - x² | · | √3² + x² - √3² - x² | = |
| √3² + x² + √3² - x² | √3² + x² - √3² - x² |
| = | (√3² + x² - √3² - x²)² | = |
| (√3² + x²)² - (√3² - x²)² |
Resolvemos:
| = | (√3² + x²)² - 2·√3² + x²·√3² - x² + (√3² - x²)² | = |
| 3² + x² - (3² - x²) |
| = | 3² + x² - 2·√(3² + x²)·(3² - x²) + 3² - x² | = |
| 3² + x² - 3² + x² |
| = | 2·3² - 2·√(3²)² - (x²)² | = |
| 2·x² |
Extraemos factor común "2" en el numerador:
| = | 2·(3² - √81 - x⁴) | = |
| 2·x² |
Simplificamos:
| = | 3² - √81 - x⁴ |
| x² |
Expresamos el resultado:
| √3² + x² - √3² - x² | = | 9 - √81 - x⁴ |
| √3² + x² + √3² - x² | x² |
b)
| 3·x² - y | = |
| ∛x²·y³ - x³·y² |
Multiplicamos numerador y denominador por una raíz del mismo índice pero con un radicando conveniente:
∛(x²·y³ - x³·y²)²
| = | 3·x² - y | · | ∛(x²·y³ - x³·y²)² | = |
| ∛x²·y³ - x³·y² | ∛(x²·y³ - x³·y²)² |
Resolvemos:
| = | (3·x² - y)·∛(x²·y³ - x³·y²)² | = |
| ∛(x²·y³ - x³·y²)³ |
En el denominador y en el radicando extraemos factor común x²·y²
| = | (3·x² - y)·∛[x²·y²·(y - x)]² | = |
| x²·y³ - x³·y² |
| = | (3·x² - y)·∛[x²·y²·(y - x)]² |
| x²·y²·(y - x) |
Expresamos el resultado, queda factorizado:
| 3·x² - y | = | (3·x² - y)·∛[x²·y²·(y - x)]² |
| ∛x²·y³ - x³·y² | x²·y²·(y - x) |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo racionalizar denominadores de polinomios