Estudio de las progresiones (primera parte)

Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial.

El estudio de las progresiones aritméticas es paralelo al de las geométricas por cuanto las propiedades de estas últimas emanan de las primeras sin más que convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un número natural en una potencia de exponente natural.

El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático concreto.

Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2.000 - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.

En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en su más conocida obra, el Lilavati, diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas.

Sucesiones

Se entenderá por sucesión una colección de números dispuestos uno a continuación de otro.

Sirvan de ejemplo:

a) -3, 0, ⅕, √2, 7, π, 13 …

b) -1, 3, 7, 11, 15 …

c) 3, 6, 12, 24, 48 …

En el primero no es posible averiguar qué número seguiría a 13 (no se encuentra una regla que indique la relación entre los términos). En el segundo, a 15 le seguirían 19, 23, 27 … (cada término es cuatro unidades mayor que el anterior). En el tercero, al término quinto, que es 48, le seguiría 96 (cada término es el doble del anterior).

Cuando se habla de una sucesión cualquiera, la forma más usual de referirse a ella es escribir a₁, a₂, a₃, a₄, …, a₍ₙ ₋ ₂₎, a₍ₙ ₋ ₁₎, aₙ, … donde los subíndices determinan el lugar que cada término ocupa dentro de la sucesión, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los números.

Es también frecuente encontrar una sucesión simbolizada por (aₙ)_nN, o simplemente (aₙ).

Término general de una sucesión

El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por aₙ y se hablará de término n-ésimo.

De entre los muchos ejemplos que se podrían citar, valgan los siguientes:

½, 3/2, ¾, ⅘, … aₙ = n/(n + 1)

4, 4/2, 16/3, 25/4, … bₙ = (n + 1)²/n

½, 1, 9/8, 1, 25/32, … cₙ = n²/2ⁿ

Ejemplos de cómo determinar los términos de una sucesión

Ejemplo nº 1

¿cuál es el término sexagésimo de la sucesión ½, 3/2, ¾, ⅘, … ?

Solución

• Es claro que el término general es aₙ = n/(n + 1)
• Así, el término a₆₀ será a₆₀ = 60/61

Ejemplo nº 2

Escribir los seis primeros términos de la sucesión aₙ = 3·2⁽ⁿ ⁻ ¹⁾

Solución

a₁ = 3·2₁ ₋ ₁ = 3·1 = 3·a₄ = 3·2₃ = 24

a₂ = 3·2 = 6·a₅ = 3·2⁴ = 48

a₃ = 3·2² = 12·a₆ = 3·2⁵ = 96

La obtención del término general de una sucesión puede entrañar una notable dificultad. No obstante, se estudiarán a continuación dos clases de sucesiones en las que el hallazgo del término general es bastante sencillo.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d.

Así, si (aₙ) es una progresión aritmética, se verifica que:

aₙ = a₍ₙ ₋ ₁₎ + d

Ejemplos de cómo reconocer una progresión aritmética

Ejemplo nº 1

Para asegurarse de que una sucesión es una progresión aritmética se ha de comprobar que la diferencia entre cada término y su anterior es siempre la misma. Además, esta comprobación elemental determina el valor de la diferencia de la progresión.

¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 … una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia?

Solución

Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:

5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2; 1 - 3 = -2; -1 - 1 = -2; …

Es una progresión aritmética de diferencia d = -2.

Ejemplo nº 2

¿Es 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 9/2, … una progresión aritmética?

Solución

3/2 -1 = ½, 3 - 5/2 = ½, 2 - 3/2 = ½, 9/2 - 3 = 3/2, 5/2 - 2 = ½

No es una progresión aritmética.

Término general de una progresión aritmética

La fórmula del término general de una progresión aritmética (aₙ) se encuentra sin más que observar que:

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2·d

a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2·d) + d = a₁ + 3·d

a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3·d) + d = a₁ + 4·d

Nótese que en todos los casos el término correspondiente es la suma de dos cantidades:

• La primera es siempre a₁
• La segunda es el producto (n - 1)·d.
  aₙ = a₁ + (n - 1)·d

Si la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el anterior.

Si la diferencia de una progresión aritmética es cero, la progresión es constante, es decir, tiene todos sus términos iguales.

Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

Ejemplos de cálculo del término general de una progresión aritmética

Ejemplo nº 1

Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, … ¿Cuál es su término general?

Solución

Se trata de una progresión aritmética de diferencia d = 2 y primer término a₁ = 1. El término general es, por tanto:

aₙ = 1 + (n - 1)·2 = 2·n - 1

Ejemplo nº 2

Calcular a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un 6° piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m.

Solución

Es claro que si se considera la sucesión de las alturas de los pisos, la diferencia entre cada vivienda y la anterior es constante e igual a 2,8 m.

Así pues, se está en el caso de una progresión aritmética en la que el primer término es 4 (altura a la que se encuentra el primer piso) y la diferencia es 2,8.

El problema se resuelve calculando el término 6°:

aₙ = 4 + (n - 1)·2,8

a₆ = 4 + (6 - 1)·2,8 = 18

Términos equidistantes de una progresión aritmética

El interés de las progresiones aritméticas no acaba en el cálculo del término general. Estudiando más detalladamente algunos modelos de progresiones aritméticas, se pueden deducir propiedades de enorme interés:

En cada uno de estos tres modelos se han elegido al azar dos parejas distintas de términos, de forma que la suma de los subíndices es igual en ambos casos. Sumando el valor de los términos en cada una de las dos parejas, se observa que los resultados coinciden.

Esto conduce a la pregunta de si, elegidas cualesquiera dos parejas de términos cuyas sumas de subíndices coincidan, también coincidirán las sumas de sus términos correspondientes.

Dicho en lenguaje matemático, cabe preguntarse si será cierto que el hecho de ser r + s = u + v, se desprende la igualdad aᵣ + aₛ = aᵤ + aᵥ

La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre de propiedad de los términos equidistantes de una progresión aritmética.

Propiedad: Si aₙ es una progresión aritmética de diferencia d y r + s = u + v, entonces aᵣ + aₛ = aᵤ + aᵥ

• Demostración:

Estos dos resultados son iguales por ser r + s = u + v.

Ejemplo de cálculo de términos equidistantes en una progresión aritmética

Ejemplo nº 1

En una progresión artimética se sabe que a₁ = -2, a₃₂ = 91, a₁₆ = 43. Encontrar a₁₇

Solución

Puesto que 1 + 32 = 16 + 17 = 33, por la propiedad de los términos equidistantes,

a₁ + a₃₂ = a₁₆ + a₁₇

-2 + 91 = 43 + a₁₇ ⇒ a₁₇ = 46

Interpolación de medios aritméticos

Interpolar (de inter, entre y polos, ejes) n números entre otros dos conocidos a y b; consiste en construir una progresión aritmética a, a₁, a₂, …, aₙ, b.

Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que ha de tener la progresión, la cual se deduce sin más que tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesión tiene n + 2 términos

2) El primer término es a y el término aₙ ₊ ₂ es b

Aplicando la fórmula del término general de una progresión aritmética, se tiene que:

b = a + [(n + 2) - 1]·d,

d = (b - a)/(n + 1)

Una vez conocido el valor de la diferencia, a₁ se obtiene como la suma de a y d; a₂ es la suma de a₁ y d, y así sucesivamente.

Los números a₁, a₂, …, aₙ reciben el nombre de medios aritméticos.

Ejemplo de interpolación de medios aritméticos

Ejemplo nº 1

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25.

Solución

La progresión es: -18, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, 25.

Aplicando la fórmula obtenida con a = -18 y b = 25.

d = [25 - (-18)]/(5 + 1) = 43/6

a₁ = -18 + 43/6 = -65/6

a₂ = -65/6 + 43/6 = -22/6 = -11/3

a₃ = -11/3 + 43/6 = 21/6 = 7/2

a₄ = 7/2 + 43/6 = 64/6 = 32/3

a₅ = 32/3 + 43/6 = 107/6

La progresión aritmética que se buscaba es:

-18, -65/6, -11/3, 7/2, 32/3, 107/6, 25, …

Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética

Se denotará por Sₙ a la suma a₁ + a₂ + … + aₙ

Se tiene entonces:

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + a₍ₙ ₋ ₂₎ + a₍ₙ ₋ ₁₎ + aₙ

Invirtiendo el orden,

Sₙ = aₙ + a₍ₙ ₋ ₁₎ + a₍ₙ ₋ ₂₎ + … + a₃ + a₂ + a₁

Sumando,

2·Sₙ = (a₁ + a₂) + (a₂ + a₍ₙ ₋ ₁₎) + … + (a₍ₙ ₋ ₁₎ + a₂) + (aₙ + a₁)

Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

a₁ + aₙ = a₂ + a₍ₙ ₋ ₁₎ = a₃ + a₍ₙ ₋ ₂₎ = … = aₙ + a₁

Por tanto, 2·Sₙ = n·(a₁ + aₙ), y despejando:

Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2

Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cualesquiera n términos consecutivos.

Para sumar, por ejemplo, a₅ + a₆ … + a₈₃, es necesario constatar que hay

(83 - 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros).

La suma es:

(a₅ + a₆₃)·79/2

Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Friedrich Gauss (1.777 - 1.855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5.050.

Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a:

2 + 99, igual a 3 + 98, … etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar: 50·101 = 5.050.

Ejemplos de suma de términos de una progresión aritmética

Ejemplo nº 1

Sumar los veinte primeros términos de la progresión:

-5, 4, 13, 22, 31, 40

Solución

S₂₀ = (a₁ + a₂₀)·d/2

La diferencia es d = 9

a₂₀ = -5 + (20 - 1)·9

a₂₀ = -5 + 19·9 = 166

S₂₀ = (-5 + 116)·20/2 = 1.610

Ejemplo nº 2

Dada la progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, …, sumar los términos comprendidos entre a₂₄ y a₃₆

Solución

La diferencia es d = -5.

a₂₄ = 8 + 23·(-5) = -107

a₃₆ = 8 + 35·(-5) = -167

Entre ambos hay 36 - 23 = 13 términos. La suma pedida es S₁₃ = [(-120) + (-116)]·13/2 = -1.781

Ejemplo nº 3

¿Cuántos términos de la progresión -11, -4, 3, 10, … hay que tomar para que su suma sea 570?

Solución

Se sabe que:

a₁ = -11, d = 7, aₙ = -11 + (n - 1)·7 = 7·n - 18 y Sₙ = 570.

Se ha de calcular n:

570 = (-11 + 7·n - 18)·n/2

1.140 = 7·n² - 29·n

7·n² - 29·n - 1.140 = 0

Se resuelve la ecuación de 2° grado:

Como n ha de ser entero y positivo -76/7 no puede ser la solución, luego n = 15

Progresiones geométricas (I)

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, y que se representará por la letra r.

Así, si (aₙ) es una progresión geométrica, se verifica.

aₙ = a₍ₙ ₋ ₁₎·r

Ejemplos de cómo reconocer una progresión geométrica

Para asegurarse de que una sucesión es una progresión geométrica se ha de comprobar que el cociente entre cada término y su anterior es siempre el mismo. Además esta comprobación elemental determina el valor de esta razón de la progresión.

Ejemplo nº 1

¿Es 5, 15, 45, 135, 405 … una progresión geométrica?

Solución

-15/5 = 45/15 = 135/45 = 405/135 = 3. Es una progresión geométrica de razón 3.

Ejemplo nº 2

¿Es la sucesión 25, -5, 1, -⅕, 1/25, 1/125 una progresión geométrica?

Solución

No es una progresión geométrica.

Término general de una progresión geométrica

La fórmula del término general de una progresión geométrica (aₙ) se encuentra sin más que observar que:

a₂ = a₁·r

a₃ = a₂·r = (a₁·r)·r = a₁·r²

a₄ = a₃·r = (a₁·r²)·r = a₁·r³

a₅ = a₄·r = (a₁·r³)·r = a₁·r⁴

Nótese que, en todos los casos, el término correspondiente es el producto de dos cantidades:

• La primera es siempre a₁
• La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto número, que se obtiene restando una unidad al subíndice

En definitiva, la expresión del término general es:

aₙ = a₁·r⁽ⁿ ⁻ ¹⁾

Si la razón de una progresión geométrica es mayor que uno, la progresión es creciente, es decir, cada término es mayor que el anterior.

Si la razón de una progresión geométrica está comprendida entre cero y uno, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

Si la razón de una progresión geométrica es igual a uno, la progresión es constante, es decir, tiene todos los términos iguales.

Si la razón de una progresión geométrica es menor que cero, la progresión es alterna, es decir, sus términos son alternativamente positivos y negativos.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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