Matrices y determinantes. Operaciones (primera parte)

Adjunto de una matriz

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (aₓ) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

Ejemplo:

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa.

Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A)·A = |A| I

De este modo, si |A| ≠ 0,

A⁻¹ = 1/|A| (Adjunta A)

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

y

y el det A:

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

A⁻¹ = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa

Ejemplo nº 1

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a)

b)

a)

Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

Como el determinante es cero, no existe la inversa de la matriz A

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

B₁₁ = 5
B₁₂ = -2

B₂₁ = 1
B₂₂ = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

Aplicando ahora la propiedad

b)

Empezaremos por hallar el det A,

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A⁻¹:

A⁻¹ = 1/|A| (Adjunta A)

Simplificando:

Autor: Jesús. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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