Aplicaciones de los determinantes (segunda parte)
Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo de cálculo de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo nº 1
Discutir y calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
3·x + 2·y - z = 4
2·x - y + 2·z = 3
x + 3·y + 2·z = -5
| A = | 3 | 2 | -1 | ||
| 2 | -1 | 2 | |||
| 1 | 3 | 2 |
| (A ⋮ b) = | 3 | 2 | -1 | ⋮ | 4 | ||
| 2 | -1 | 2 | ⋮ | 3 | |||
| 1 | 3 | 2 | ⋮ | -5 |
Calculamos a continuación el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):
El rango de la matriz A será:
| 3 | 2 | = -3 - 4 = -7 ≠ 0 |
| 2 | -1 |
rango (A) ≥ 2
| 3 | 2 | -1 | = -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35 ≠ 0 |
| 2 | -1 | 2 | |
| 1 | 3 | 2 |
rango (A) = 3
El rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):
| 3 | 2 | 4 | = -15 + 6 + 24 + 4 - 20 - 27 = -28 ≠ 0 |
| 2 | -1 | 3 | |
| 1 | 3 | 5 |
rango (A ⋮ b) = 3
Dado que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una única solución. Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer:
Calculamos el det (A):
| det (A) = | 3 | 2 | -1 | = -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35 |
| 2 | -1 | 2 | ||
| 1 | 3 | 2 |
Aplicando la regla de Cramer:
| 4 | 2 | -1 | |||||
| 3 | -1 | 2 | |||||
| x = | -5 | 3 | 2 | ||||
| -23 | |||||||
| x = | -8 - 20 - 9 + 5 - 12 - 24 | = | -68 | = | 68 |
| -23 | -23 | 23 |
| 3 | 4 | -1 | |||||
| 2 | 3 | 2 | |||||
| y = | 1 | -5 | 2 | ||||
| -23 | |||||||
| y = | 18 +8 + 10 + 3 - 16 + 30 | = | 53 | = | -53 |
| -23 | -23 | 23 |
| 3 | 2 | 4 | |||||
| 2 | -1 | 3 | |||||
| z = | 1 | 3 | -5 | ||||
| -23 | |||||||
| z = | 15 - 6 + 24 + 4 + 20 - 27 | = | 42 | = | -42 |
| -23 | -23 | 23 |
x = 68/(-35); y = -53/(-35); z = -42/(-35).
Polinomio característico
Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:
| = | a₁₁ | a₁₂ | … | a₁ₙ | ||
| a₂₁ | a₂₂ | … | a₂.ₙ | |||
| … | … | … | … | |||
| aₙ₁ | aₙ₂ | … | aₙₙ |
La matriz (A - λ·Iₙ), donde Iₙ es la matriz identidad n-cuadrada y λ un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:
| (A - λ·Iₙ) = | a₁₁ - λ | a₁₂ | … | a₁ₙ | ||
| a₂₁ | a₂₂ - λ | … | a₂.ₙ | |||
| … | … | … | … | |||
| aₙ₁ | aₙ₂ | … | aₙₙ - λ |
Su determinante, det (A - λ·Iₙ), que es un polinomio en λ, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a:
det (A - λ·Iₙ) = 0, ecuación característica de A.
Ejemplo nº 1
Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:
| A = | 1 | -2 | ||
| 2 | 0 |
La matriz característica será (A - λ·Iₙ). Luego:
| (A - λ·Iₙ) = | 1 - λ | -2 | ||
| 2 | 0 - λ |
y el polinomio característico,
| det (A - λ·Iₙ) = | 1 - λ | -2 | = (1 - λ)·(0 - λ) + 4 |
| 2 | 0 - λ |
det (A - λ·Iₙ) = λ² - λ + 4
Así pues, el polinomio característico es λ² - λ + 4.
Valores propios y vectores propios
Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Un escalar λ ∈ Kⁿ se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v ∈ Kⁿ para el que
Av = λ·v
Todo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio λ. Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio.
Ejemplo nº 2
Sea:
| A = | 1 | 2 | , | ||
| 3 | 2 |
y sean v₁ = (2, 3) y v₂ = (1, -1). Entonces:
| A·v₁ = | 1 | 2 | , | 2 | = | 8 | = 4· | 2 | = 4·v₁, y | ||||||||
| 3 | 2 | 3 | 12 | 3 |
| A·v₂ = | 1 | 2 | , | 1 | = | -1 | = -1·v₂ | ||||||
| 3 | 2 | -1 | 1 |
Así pues, v₁ y v₂ son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios λ₁ = 4 y λ₂ = -1 de A.
Autor: Jesús. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
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