Problema nº 1-a de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP01

Enunciado del ejercicio nº 1-a

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:

I) Igualación

II) Sustitución

III) Reducción

IV) Determinantes

V) Graficar

3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10

Solución

I) Igualación

3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10

Despejamos "y" en ambas ecuaciones:

y =	3·x + 16
	2

y =	-5·x + 10
	4

Igualamos y resolvemos:

3·x + 16	=	-5·x + 10
2	=	4

4·(3·x + 16) = 2·(-5·x + 10)

2·(3·x + 16) = -5·x + 10

6·x + 32 = -5·x + 10

Despejamos "x":

6·x + 5·x = -32 + 10

x =	-22
	11

x = -2

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

y =	3·(-2) + 16
	2

y =	-6 + 16
	2

y =	10
	2

y = 5

Resultado aplicando el método de igualación:

x = -2

y = 5

II) Sustitución

3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10

Despejamos "y" de la primera ecuación:

y =	3·x + 16
	2

Sustituimos "y" en la segunda ecuación:

5·x +	4·(3·x + 16)	= 10
	2

Resolvemos:

5·x + 2·(3·x + 16) = 10

5·x + 6·x + 32 = 10

Despejamos "x":

11·x = 10 - 32

11·x = -22

x =	-22
	11

x = -2

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

y =	3·(-2) + 16
	2

y =	-6 + 16
	2

y =	10
	2

y = 5

Resultado aplicando el método de sustitución:

x = -2

y = 5

III) Reducción

3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10

Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la sumamos a la segunda:

2·(3·x - 2·y) = 2·(-16)
5·x + 4·y = 10

6·x - 4·y = -32
5·x + 4·y = 10

11·x = -22

Despejamos "x":

x =	-22
	11

x = -2

Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":

5·x + 4·y = 10

5·(-2) + 4·y = 10

-10 + 4·y = 10

4·y = 10 + 10

4·y = 20

y =	20
	4

y = 5

Resultado aplicando el método de reducción:

x = -2

y = 5

IV) Determinantes

3·x - 2·y = -16
5·x + 4·y = 10

x =	Δₓ
	Δ

y =	Δ_y
	Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

Δ =	3	-2
Δ =	5	4

Δ = 3·4 - (-2)·5

Δ = 12 + 10

Δ = 22

Hallamos los determinantes de las incógnitas:

Δₓ =	-16	-2
Δₓ =	10	4

Δₓ = (-16)·4 - (-2)·10

Δₓ = -64 + 20

Δₓ = -44

Δ_y =	3	-16
Δ_y =	5	10

Δ_y = 3·10 - (-16)·5

Δ_y = 30 + 80

Δ_y = 110

Calculamos las incógnitas "x" e "y":

x =	Δₓ
	Δ

x =	-44
	22

x = -2

y =	Δ_y
	Δ

y =	110
	22

y = 5

Resultado aplicando el método de determinantes:

x = -2

y = 5

Resultado, el punto de intersección es:

P(-2; 5)

V) Gráfica

Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:

y =	3·x	+	16
	2		2

y =	3·x	+ 8
	2

m₁ =	3
	2

b₁ = 8

y =	-5·x	+	10
	4		4

y =	-5·x	+	5
	4		2

m₂ = -	5
	4

b₂ =	5
	2

Gráfica de las rectas

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales