Problema nº 1-d de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP01
Enunciado del ejercicio nº 1-d
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17
Solución
I) Igualación
4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
| y = | 4·x - 6 |
| 3 |
y = -5·x + 17
Igualamos y resolvemos:
| -5·x + 17 = | 4·x - 6 |
| 3 |
3·(-5·x + 17) = 4·x - 6
-15·x + 51 = 4·x - 6
Despejamos "x":
-15·x - 4·x = -51 - 6
-19·x = -57
| x = | -57 |
| -19 |
x = 3
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
y = -5·x + 17
y = -5·3 + 17
y = -15 + 17
y = 2
Resultado aplicando el método de igualación:
x = 3
y = 2
II) Sustitución
4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17
Despejamos "y" de la segunda ecuación:
y = -5·x + 17
Sustituimos "y" en la primera ecuación:
4·x - 3·y = 6
4·x - 3·(-5·x + 17) = 6
Resolvemos:
4·x + 15·x - 51 = 6
Despejamos "x":
19·x = 6 + 51
19·x = 57
| x = | 57 |
| 19 |
x = 3
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
y = -5·x + 17
y = -5·3 + 17
y = -15 + 17
y = 2
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = 3
y = 2
III) Reducción
4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17
Multiplicamos la segunda ecuación por 3 y la sumamos a la primera:
4·x - 3·y = 6
3·(5·x + y) = 3·17
4·x - 3·y = 6
15·x + 3·y = 51
4·x + 15·x = 6 + 51
Despejamos "x":
19·x = 57
| x = | 57 |
| 19 |
x = 3
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
4·x - 3·y = 6
4·3 - 3·y = 6
12 - 3·y = 6
-3·y = 6 - 12
-3·y = -6
y = 2
Resultado aplicando el método de reducción:
x = 3
y = 2
IV) Determinantes
4·x - 3·y = 6
5·x + y = 17
| x = | Δₓ |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 4 | -3 |
| 5 | 1 |
Δ = 4·1 - (-3)·5
Δ = 4 + 15
Δ = 19
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δₓ = | 6 | -3 |
| 17 | 1 |
Δₓ = 6·1 - (-3)·17
Δₓ = 6 + 51
Δₓ = 57
| Δy = | 4 | 6 |
| 5 | 17 |
Δy = 4·17 - 6·5
Δy = 68 - 30
Δy = 38
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δₓ |
| Δ |
| x = | 57 |
| 19 |
x = 3
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | 38 |
| 19 |
y = 2
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = 3
y = 2
Resultado, el punto de intersección es:
P(3; 2)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
| y = | 4·x | - | 6 |
| 3 | 3 |
| y = | 4·x | - 2 |
| 3 |
| m₁ = | 4 |
| 3 |
b₁ = -2
y = -5·x + 17
| m₂ = - | 5 |
| 1 |
b₂ = 17
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales