Problema n° 1-e de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP01

Enunciado del ejercicio n° 1-e

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:

I) Igualación

II) Sustitución

III) Reducción

IV) Determinantes

V) Graficar

5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4

Solución

I) Igualación

5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4

Despejamos "y" en ambas ecuaciones:

y =5·x - 2
4

4·(2·x + 3·y) = 17

8·x + 12·y = 17

y =-8·x + 17
12

Igualamos y resolvemos:

5·x - 2=-8·x + 17
412

12·(5·x - 2) = 4·(-8·x + 17)

3·(5·x - 2) = -8·x + 17

15·x - 6 = -8·x + 17

Despejamos "x":

15·x + 8·x = 17 + 6

23·x = 23

x = 1

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

y =5·x - 2
4
y =5·1 - 2
4
y =5 - 2
4
y =3
4

Resultado aplicando el método de igualación:

x = 1

y = ¾

II) Sustitución

5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4

5·x - 4·y = 2
8·x + 12·y = 17

Despejamos "y" de la primera ecuación:

y =5·x - 2
4

Sustituimos "y" en la segunda ecuación:

8·x + 12·y = 17

8·x + 12·

5·x - 2= 17
4

Resolvemos:

8·x + 3·(5·x - 2) = 17

8·x + 15·x - 6 = 17

Despejamos "x":

23·x = 17 + 6

23·x = 23

x = 1

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

5·x - 4·y = 2

5·1 - 4·y = 2

5 - 4·y = 2

-4·y = 2 - 5

-4·y = -3

y =-3
-4

y = ¾

Resultado aplicando el método de sustitución:

x = 1

y = ¾

III) Reducción

5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4

5·x - 4·y = 2
8·x + 12·y = 17

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la sumamos a la segunda:

3·(5·x - 4·y) = 3·2
8·x + 12·y = 17

15·x - 12·y = 6
8·x + 12·y = 17

15·x + 8·x = 6 + 17

Despejamos "x":

23·x = 23

x = 1

Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":

8·x + 12·y = 17

8·1 + 12·y = 17

8 + 12·y = 17

12·y = 17 - 8

12·y = 9

y =9
12

y = ¾

Resultado aplicando el método de reducción:

x = 1

y = ¾

IV) Determinantes

5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4

5·x - 4·y = 2
8·x + 12·y = 17

x =Δₓ
Δ
y =Δy
Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

Δ =5-4
812

Δ = 5·12 - (-4)·8

Δ = 60 + 32

Δ = 92

Hallamos los determinantes de las incógnitas:

Δₓ =2-4
1712

Δₓ = 2·12 - (-4)·17

Δₓ = 24 + 68

Δₓ = 92

Δy =52
817

Δy = 5·17 - 2·8

Δy = 85 - 16

Δy = 69

Calculamos las incógnitas "x" e "y":

x =Δₓ
Δ
x =92
92

x = 1

y =Δy
Δ
y =69
92

y = ¾

Resultado aplicando el método de determinantes:

x = 1

y = ¾

Resultado, el punto de intersección es:

P(1; ¾)

V) Gráfica

Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:

y =5·x-2
44
y =5·x-1
42
m₁ =5
4
b₁ = -1
2
y =-8·x+17
1212
y =-2·x+17
312
m₂ = -2
3
b₂ =17
12

Gráfica de las rectas

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales

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