Problema nº 1-f de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP01
Enunciado del ejercicio nº 1-f
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
x/5 - y = -2
4·x + y/4 = 41
Solución
Sumamos las fracciones en ambas ecuaciones y obtenemos un sistema equivalente para facilitar las operaciones:
x/5 - y = -2
4·x + y/4 = 41
(x - 5·y)/5 = -2
(4·4·x + y)/4 = 41
x - 5·y = 5·(-2)
4·4·x + y = 4·41
x - 5·y = -10
16·x + y = 164
I) Igualación
x - 5·y = -10
16·x + y = 164
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
| y = | x + 10 |
| 5 |
y = -16·x + 164
Igualamos y resolvemos:
| x + 10 | = -16·x + 164 |
| 5 |
x + 10 = 5·(-16·x + 164)
x + 10 = -80·x + 820
Despejamos "x":
x + 80·x = 820 - 10
81·x = 810
| x = | 810 |
| 81 |
x = 10
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
y = -16·x + 164
y = -16·10 + 164
y = -160 + 164
y = 4
Resultado aplicando el método de igualación:
x = 10
y = 4
II) Sustitución
x - 5·y = -10
16·x + y = 164
Despejamos "y" de la primera ecuación:
| y = | x + 10 |
| 5 |
Sustituimos "y" en la segunda ecuación:
| 16·x + | x + 10 | = 164 |
| 5 |
Resolvemos:
| 5·16·x + x + 10 | = 164 |
| 5 |
80·x + x + 10 = 5·164
Despejamos "x":
81·x = 820 - 10
81·x = 810
| x = | 810 |
| 81 |
x = 10
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
16·x + y = 164
16·10 + y = 164
160 + y = 164
y = 164 - 160
y = 4
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = 10
y = 4
III) Reducción
x - 5·y = -10
16·x + y = 164
Multiplicamos la segunda ecuación por 5 y la sumamos a la primera:
x - 5·y = -10
5·(16·x + y) = 5·164
x - 5·y = -10
80·x + 5·y = 820
x + 80·x = -10 + 820
Despejamos "x":
81·x = 810
| x = | 810 |
| 81 |
x = 10
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
x - 5·y = -10
10 - 5·y = -10
-5·y = -10 - 10
-5·y = -20
| y = | -20 |
| -5 |
y = 4
Resultado aplicando el método de reducción:
x = 10
y = 4
IV) Determinantes
x - 5·y = -10
16·x + y = 164
| x = | Δₓ |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 1 | -5 |
| 16 | 1 |
Δ = 1·1 - (-5)·16
Δ = 1 + 80
Δ = 81
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δₓ = | -10 | -5 |
| 164 | 1 |
Δₓ = (-10)·1 - (-5)·164
Δₓ = -10 + 820
Δₓ = 810
| Δy = | 1 | -10 |
| 16 | 164 |
Δy = 1·164 - (-10)·16
Δy = 164 + 160
Δy = 324
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δₓ |
| Δ |
| x = | 810 |
| 81 |
x = 10
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | 324 |
| 81 |
y = 4
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = 10
y = 4
Resultado, el punto de intersección es:
P(10; 4)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
| y = | x | + | 10 |
| 5 | 5 |
| y = | x | + 2 |
| 5 |
| m₁ = | 1 |
| 5 |
b₁ = 2
y = -16·x + 164
| m₂ = - | 16 |
| 1 |
b₂ = 164
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales