Problema nº 1-h de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP01

Enunciado del ejercicio nº 1-h

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:

I) Igualación

II) Sustitución

III) Reducción

IV) Determinantes

V) Graficar

4·x - 8·y = 44
2·x + 4·y = 22

Solución

Dividimos ambos miembros de la primera ecuación por 4 y dividimos ambos miembros de la segunda ecuación por 2:

(4·x - 8·y)÷4 = 44÷4
(2·x + 4·y)÷2 = 22÷2

x - 2·y = 11
x + 2·y = 11

I) Igualación

x - 2·y = 11
x + 2·y = 11

Despejamos "y" en ambas ecuaciones:

y =	x - 11
	2

y =	-x + 11
	2

Igualamos y resolvemos:

x - 11	=	-x + 11
2	=	2

2·(x - 11) = 2·(-x + 11)

x - 11 = -x + 11

Despejamos "x":

x + x = 11 + 11

2·x = 22

x =	22
	2

x = 11

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

y =	x - 11
	2

y =	11 - 11
	2

y =	0
	2

y = 0

Resultado aplicando el método de igualación:

x = 11

y = 0

II) Sustitución

x - 2·y = 11
x + 2·y = 11

Despejamos "y" de la primera ecuación:

y =	x - 11
	2

Sustituimos "y" en la segunda ecuación:

x + 2·y = 11

x + 2·	x - 11	= 11
	2

Resolvemos:

x + x - 11 = 11

x + x = 11 + 11

Despejamos "x":

2·x = 22

x =	22
	2

x = 11

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

x - 2·y = 11

11 - 2·y = 11

-2·y = 0

y = 0

Resultado aplicando el método de sustitución:

x = 11

y = 0

III) Reducción

x - 2·y = 11
x + 2·y = 11

Sumamos ambas ecuaciones:

x + x = 11 + 11

2·x = 22

Despejamos "x":

x =	22
	2

x = 11

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

x - 2·y = 11

11 - 2·y = 11

-2·y = 0

y = 0

Resultado aplicando el método de reducción:

x = 11

y = 0

IV) Determinantes

x - 2·y = 11
x + 2·y = 11

x =	Δₓ
	Δ

y =	Δ_y
	Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

Δ =	1	-2
Δ =	1	2

Δ = 1·2 - (-2)·1

Δ = 2 + 2

Δ = 4

Hallamos los determinantes de las incógnitas:

Δₓ =	11	-2
Δₓ =	11	2

Δₓ = 11·2 - (-2)·11

Δₓ = 22 + 22

Δₓ = 44

Δ_y =	1	11
Δ_y =	1	11

Δ_y = 11·1 - 11·1

Δ_y = 11 - 11

Δ_y = 0

Calculamos las incógnitas "x" e "y":

x =	Δₓ
	Δ

x =	44
	4

x = 11

y =	Δ_y
	Δ

y =	0
	4

y = 0

Resultado aplicando el método de determinantes:

x = 11

y = 0

Resultado, el punto de intersección es:

P(11; 0)

V) Gráfica

Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:

y =	x	-	11
	2		2

m₁ =	1
	2

b₁ = -	11
	2

y =	-x	+	11
	2		2

m₂ = -	1
	2

b₂ =	11
	2

Gráfica de las rectas

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales