Problema nº 1-b de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-b
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
x² - x - y = 0
5·x + y = 17
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
x² - x - y = 0
5·x + y = 17
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación de la recta:
5·x + y = 17
y = -5·x + 17
Reemplazamos en la ecuación de la parábola:
x² - x - y = 0
x² - x - (-5·x + 17) = 0
Resolvemos:
x² - x + 5·x - 17 = 0
x² + 4·x - 17 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = 4
c = -17
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -4 ± √4² - 4·1·(-17) |
| 2·1 |
| x1,2 = | -4 ± √16 + 68 |
| 2 |
| x1,2 = | -4 ± √84 |
| 2 |
| x1,2 = | -4 ± √2²·21 |
| 2 |
| x1,2 = | -4 ± 2·√21 |
| 2 |
Extraemos factor común "2" en el numerador:
| x1,2 = | 2·(-2 ± √21) |
| 2 |
Simplificamos:
x1,2 = -2 ± √21
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
x₁ = -2 + √21
x₂ = -2 - √21
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado en la ecuación lineal:
y₁ = -5·(-2 + √21) + 17
y₂ = -5·(-2 - √21) + 17
Resolvemos:
y₁ = 10 - 5·√21 + 17
y₁ = 27 - 5·√21
y₂ = 10 + 5·√21 + 17
y₂ = 27 + 5·√21
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
P₁(-2 + √21; 27 - 5·√21)
P₂(-2 - √21; 27 + 5·√21)
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
x² - x - y = 0
x² - x = 0
Extraemos factor común "x":
x·(x - 1) = 0
Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:
x = 0 ∧ x - 1 = 0 ⇒ x = 1
La intersección con el eje "X" es:
x₁ = 0
x₂ = 1
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | 1 + 0 |
| 2 |
| Vₓ = | 1 |
| 2 |
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ" en la ecuación de la parábola:
x² - x - y = 0
y = x² - x
Vy = Vₓ² - Vₓ
| Vy = ( | 1 | )² - | 1 |
| 2 | 2 |
| Vy = | 1 | - | 1 |
| 4 | 2 |
| Vy = | 1 - 2 |
| 4 |
| Vy = | -1 |
| 4 |
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
| V = ( | 1 | ; - | 1 | ) |
| 2 | 4 |
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal:
5·x + y = 17
y = -5·x + 17
La pendiente es:
| m = - | 5 |
| 1 |
La ordenada al origen es:
b = 17
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática