Problema nº 1-c de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-c
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
x² - 4·x + 4 = y
5·x + 4·y = 10
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
x² - 4·x + 4 = y (1)
5·x + 4·y = 10 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):
5·x + 4·(x² - 4·x + 4) = 10
Resolvemos:
5·x + 4·x² - 16·x + 16 = 10
Igualamos a cero:
5·x + 4·x² - 16·x + 16 - 10 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
4·x² - 16·x + 5·x + 16 - 10 = 0
4·x² - 11·x + 6 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 4
b = -11
c = 6
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-11) ± √(-11)² - 4·4·6 |
| 2·4 |
| x1,2 = | 11 ± √121 - 96 |
| 8 |
| x1,2 = | 11 ± √25 |
| 8 |
| x1,2 = | 11 ± 5 |
| 8 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
| x₁ = | 11 + 5 |
| 8 |
| x₁ = | 16 |
| 8 |
x₁ = 2
| x₂ = | 11 - 5 |
| 8 |
| x₂ = | 6 |
| 8 |
| x₂ = | 3 |
| 4 |
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
5·x + 4·y = 10
| y = | -5·x + 10 |
| 4 |
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
| y₁ = | -5·x₁ + 10 |
| 4 |
| y₁ = | -5·2 + 10 |
| 4 |
| y₁ = | -10 + 10 |
| 4 |
y₁ = 0
| y₂ = | -5·x₂ + 10 |
| 4 |
| -5· | 3 | + 10 | |
| y₂ = | 4 | ||
| 4 | |||
| -15 | + 10 | |
| y₂ = | 4 | |
| 4 | ||
| -15 + 40 | |
| y₂ = | 4 |
| 4 |
| y₂ = | 25 |
| 16 |
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
P₁(2; 0)
| P₂( | 3 | ; | 25 | ) |
| 4 | 16 |
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
x² - 4·x + 4 = y
x² - 4·x + 4 = 0
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
x² - 4·x + 4 = (x - 2)² = 0
La intersección con el eje "X" es:
x₁ = x₂ = 2
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | 2 + 2 |
| 2 |
| Vₓ = | 4 |
| 2 |
Vₓ = 2
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = Vₓ² - 4·Vₓ + 4
Vy = 2² - 4·2 + 4
Vy = 4 - 8 + 4
Vy = 0
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
V = (2; 0)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
5·x + 4·y = 10
| y = | -5·x + 10 |
| 4 |
Separamos en términos:
| y = - | 5·x | + | 10 |
| 4 | 4 |
| y = - | 5·x | + | 5 |
| 4 | 2 |
La pendiente es:
| m = - | 5 |
| 4 |
La ordenada al origen es:
| b = | 5 |
| 2 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática