Problema nº 1-e de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-e
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
y = -x² + x + 6
4·x + y = 14
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
y = -x² + x + 6 (1)
4·x + y = 14 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):
4·x + (-x² + x + 6) = 14
Resolvemos:
4·x - x² + x + 6 = 14
Igualamos a cero:
4·x - x² + x + 6 - 14 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-x² + 4·x + x + 6 - 14 = 0
-x² + 5·x - 8 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = -1
b = 5
c = -8
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -5 ± √5² - 4·(-1)·(-8) |
| 2·(-1) |
| x1,2 = | -5 ± √25 - 32 |
| -2 |
| x1,2 = | -5 ± √-7 |
| -2 |
√-7 ∉ ℜ
La parábola y la recta no se cortan.
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
y = -x² + x + 6
-x² + x + 6 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = -1
b = 1
c = 6
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -1 ± √1² - 4·(-1)·6 |
| 2·(-1) |
| x1,2 = | -1 ± √1 + 24 |
| -2 |
| x1,2 = | -1 ± √25 |
| -2 |
| x1,2 = | -1 ± 5 |
| -2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
| x₁ = | -1 + 5 |
| -2 |
| x₁ = | 4 |
| -2 |
x₁ = -2
| x₂ = | -1 - 5 |
| -2 |
| x₂ = | -6 |
| -2 |
x₂ = 3
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | -2 + 3 |
| 2 |
| Vₓ = | 1 |
| 2 |
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = -Vₓ² + Vₓ + 6
| Vy = -( | 1 | )² + | 1 | + 6 |
| 2 | 2 |
| Vy = - | 1 | + | 1 | + 6 |
| 4 | 2 |
| Vy = | -1 + 2 + 24 |
| 4 |
| Vy = | 25 |
| 4 |
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
| V = ( | 1 | ; | 25 | ) |
| 2 | 4 |
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
4·x + y = 14
y = -4·x + 14
La pendiente es:
| m = - | 4 |
| 1 |
La ordenada al origen es:
b = 14
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática