Problema nº 1-g de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-g
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
4·x² + 4·x + 1 - y = 0
4·x - y = 12
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
4·x² + 4·x + 1 - y = 0 (1)
4·x - y = 12 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación (1):
4·x² + 4·x + 1 = y
Reemplazamos "y" en la ecuación (2):
4·x - y = 12
4·x - (4·x² + 4·x + 1) = 12
Resolvemos:
4·x - 4·x² - 4·x - 1 = 12
Igualamos a cero:
4·x - 4·x² - 4·x - 1 - 12 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-4·x² + 4·x - 4·x - 1 - 12 = 0
-4·x² - 13 = 0
Despejamos "x":
-4·x² = 13
x² = -13/4
x1,2 = √-13/4
x1,2 ∉ ℜ
La parábola y la recta no se cortan.
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
4·x² + 4·x + 1 - y = 0
4·x² + 4·x + 1 = y
4·x² + 4·x + 1 = 0
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
4·x² + 4·x + 1 = (2·x + 1)² = 0
Por lo tanto:
2·x + 1 = 0
2·x = -1
x₁ = x₂ = -½
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | -½ + (-½) |
| 2 |
| Vₓ = | -½ - ½ |
| 2 |
| Vₓ = - | 1 |
| 2 |
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = 4·Vₓ² + 4·Vₓ + 1
Vy = 4·(-½)² + 4·(-½) + 1
Vy = 4·¼ - 2 + 1
Vy = 1 - 1
Vy = 0
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
V = (-½; 0)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
4·x - y = 12
y = 4·x - 12
La pendiente es:
| m = | 4 |
| 1 |
La ordenada al origen es:
b = -12
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática