Problema n° 1-j de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio n° 1-j
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
x² + 6·y = 0
x + y - 6 = 0
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
x² + 6·y = 0 (1)
x + y - 6 = 0 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación (2):
x + y - 6 = 0
y = -x + 6
Reemplazamos "y" en la ecuación (1):
x² + 6·y = 0
x² + 6·(-x + 6) = 0
x² - 6·x + 36 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -6
c = 36
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-6) ± √(-6)² - 4·1·36 |
| 2·1 |
| x1,2 = | 6 ± √36 - 144 |
| 2 |
| x1,2 = | 6 ± √-108 |
| 2 |
√-108 ∉ ℜ
La parábola y la recta no se cortan.
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
x² + 6·y = 0
x² + 6·0 = 0
x² = 0
x₁ = x₂ = 0
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | 0 + 0 |
| 2 |
Vₓ = 0
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = -⅙·Vₓ²
Vy = -⅙·0²
Vy = 0
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
V = (0; 0)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
x + y - 6 = 0
y = -x + 6
La pendiente es:
| m = - | 1 |
| 1 |
La ordenada al origen es:
b = 6
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática