Problema n° 1-j de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-j

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:

x² + 6·y = 0
x + y - 6 = 0

Solución

Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.

Para graficar debemos hallar:

x² + 6·y = 0 (1)
x + y - 6 = 0 (2)

Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:

Despejamos "y" de la ecuación (2):

x + y - 6 = 0

y = -x + 6

Reemplazamos "y" en la ecuación (1):

x² + 6·y = 0

x² + 6·(-x + 6) = 0

x² - 6·x + 36 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = -6

c = 36

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-(-6) ± (-6)² - 4·1·36
2·1
x1,2 =6 ± 36 - 144
2
x1,2 =6 ± -108
2

-108 ∉ ℜ

La parábola y la recta no se cortan.

Graficamos

- Parábola:

Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:

x² + 6·y = 0

x² + 6·0 = 0

x² = 0

x₁ = x₂ = 0

El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:

Vₓ =x₂ + x₁
2

Reemplazamos por los valores y calculamos:

Vₓ =0 + 0
2

Vₓ = 0

El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":

Vy = -⅙·Vₓ²

Vy = -⅙·0²

Vy = 0

El vértice es:

V = (Vₓ; Vy)

V = (0; 0)

- Recta:

Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):

x + y - 6 = 0

y = -x + 6

La pendiente es:

m = -1
1

La ordenada al origen es:

b = 6

Gráfica esquemática de la parábola y la recta

Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática

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