Problema nº 1-k de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-k
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
-2·x² + 4·x - 5 - y = 0
x - 2·y - 1 = 0
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
-2·x² + 4·x - 5 - y = 0 (1)
x - 2·y - 1 = 0 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación (1):
-2·x² + 4·x - 5 - y = 0
y = -2·x² + 4·x - 5
Reemplazamos "y" en la ecuación (2):
x - 2·y - 1 = 0
x - 2·(-2·x² + 4·x - 5) - 1 = 0
x + 4·x² - 8·x + 10 - 1 = 0
4·x² - 7·x + 9 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 4
b = -7
c = 9
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-7) ± √(-7)² - 4·4·9 |
| 2·4 |
| x1,2 = | 7 ± √49 - 144 |
| 8 |
| x1,2 = | 7 ± √-95 |
| 8 |
√-95 ∉ ℜ
La parábola y la recta no se cortan.
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
-2·x² + 4·x - 5 - y = 0
-2·x² + 4·x - 5 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = -2
b = 4
c = -5
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -4 ± √4² - 4·(-2)·(-5) |
| 2·(-2) |
| x1,2 = | -4 ± √16 - 40 |
| -4 |
| x1,2 = | -4 ± √-24 |
| -4 |
√-24 ∉ ℜ
La parábola no corta al eje "X".
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ" ó, en este caso, por cero:
-2·x² + 4·x - 5 - y = 0
Vy = -2·0² + 4·0 - 5
Vy = -5
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
x - 2·y - 1 = 0
| y = | x - 1 |
| 2 |
Separamos en términos:
| y = | x | - | 1 |
| 2 | 2 |
La pendiente es:
| m = | 1 |
| 2 |
La ordenada al origen es:
| b = - | 1 |
| 2 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática