Problema nº 1-m de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-m
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
x² - y - 4 = 0
4·x + y = -8
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
x² - y - 4 = 0 (1)
4·x + y = -8 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación (2):
4·x + y = -8
y = -4·x - 8
Reemplazamos "y" en la ecuación (1):
x² - y - 4 = 0
x² - (-4·x - 8) - 4 = 0
x² + 4·x + 8 - 4 = 0
x² + 4·x + 4 = 0
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
x² + 4·x + 4 = (x + 2)² = 0
Por lo tanto:
x₁ = x₂ = -2
Despejamos "y" de la ecuación (2):
y = -4·x - 8
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
y = -4·x - 8
y₁ = y₂ = -4·(-2) - 8
y₁ = y₂ = 8 - 8
y₁ = y₂ = 0
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
P₁(-2; 0)
P₂(-2; 0)
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
x² - y - 4 = 0
x² - 0 - 4 = 0
x² - 4 = 0
Despejamos "x":
x² = 4
x1,2 = ±√4
x1,2 = ±2
x₁ = 2
x₂ = -2
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | (-2) + 2 |
| 2 |
| Vₓ = | -2 + 2 |
| 2 |
Vₓ = 0
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = Vₓ² - 4
Vy = 0² - 4
Vy = -4
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
V = (0; -4)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
y = -4·x - 8
La pendiente es:
m = -4
La ordenada al origen es:
b = -8
La recta es tangente a la parábola en el punto (-2; 0)
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática