Problema nº 1-o de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-o
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
x² - 1 = y
5·x - 4·y = 2
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
x² - 1 = y (1)
5·x - 4·y = 2 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):
5·x - 4·y = 2
5·x - 4·(x² - 1) = 2
Resolvemos:
5·x - 4·x² + 4 = 2
Igualamos a cero:
5·x - 4·x² + 4 - 2 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-4·x² + 5·x + 2 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = -4
b = 5
c = 2
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -5 ± √5² - 4·(-4)·2 |
| 2·(-4) |
| x1,2 = | -5 ± √25 + 32 |
| -8 |
| x1,2 = | -5 ± √57 |
| -8 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
| x₁ = | -5 + √57 |
| -8 |
| x₂ = | -5 - √57 |
| -8 |
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
5·x - 4·y = 2
| y = | 5·x - 2 |
| 4 |
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
| y₁ = | 5·x₁ - 2 |
| 4 |
| 5· | -5 + √57 | - 2 | |
| y₁ = | -8 | ||
| 4 | |||
| -25 + 5·√57 | - 2 | |
| y₁ = | -8 | |
| 4 | ||
| -25 + 5·√57 - 2·(-8) | |
| y₁ = | -8 |
| 4 |
| y₁ = | -25 + 5·√57 - 16 |
| -32 |
| y₁ = | -41 + 5·√57 |
| -32 |
| y₂ = | 5·x₂ - 2 |
| 4 |
| 5· | -5 - √57 | - 2 | |
| y₂ = | -8 | ||
| 4 | |||
| -25 - 5·√57 | - 2 | |
| y₂ = | -8 | |
| 4 | ||
| -25 - 5·√57 - 2·(-8) | |
| y₂ = | -8 |
| 4 |
| y₂ = | -25 - 5·√57 - 16 |
| -32 |
| y₂ = | -41 - 5·√57 |
| -32 |
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
| P₁( | -5 + √57 | ; | -41 + 5·√57 | ) |
| -8 | -32 |
| P₂( | -5 - √57 | ; | -41 - 5·√57 | ) |
| -8 | -32 |
Aproximadamente: P₁(-0,32; -0,9) ∧ P₂(1,57; 1,46)
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
x² - 1 = y
x² - 1 = 0
Despejamos "x":
x² = 1
x1,2 = ±√1
x1,2 = ±1
x₁ = 1
x₂ = -1
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | -1 + 1 |
| 2 |
| Vₓ = | 0 |
| 2 |
Vₓ = 0
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = Vₓ² - 1
Vy = 0² - 1
Vy = -1
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
V = (0; -1)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
5·x - 4·y = 2
| y = | 5·x - 2 |
| 4 |
Separamos en términos:
| y = | 5 | ·x - | 1 |
| 4 | 2 |
La pendiente es:
| m = | 5 |
| 4 |
La ordenada al origen es:
| b = - | 1 |
| 2 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática