Problema nº 1-p de sistemas de ecuaciones entre la parábola y la recta, lineal y cuadrática - TP02
Enunciado del ejercicio nº 1-p
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y graficar:
x² - y + 8·x - 20 = 0
4·x - 3·y - 1 = 0
Solución
Al resolver el sistema de ecuaciones obtendremos como resultado los puntos de intersección entre la parábola y la recta, si existe solución.
Para graficar debemos hallar:
- De ser necesario hallamos las raíces de la parábola si existen y el vértice.
- De ser necesario hallamos la ordenada al origen y la pendiente de la recta.
x² - y + 8·x - 20 = 0 (1)
4·x - 3·y - 1 = 0 (2)
Calculamos los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Despejamos "y" de la ecuación (1):
x² - y + 8·x - 20 = 0
y = x² + 8·x - 20
Reemplazamos "y" de la ecuación (1) en la (2):
4·x - 3·y - 1 = 0
4·x - 3·(x² + 8·x - 20) - 1 = 0
Resolvemos:
4·x - 3·x² - 24·x + 60 - 1 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-3·x² + 4·x - 24·x + 60 - 1 = 0
-3·x² - 20·x + 59 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = -3
b = -20
c = 59
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-20) ± √(-20)² - 4·(-3)·59 |
| 2·(-3) |
| x1,2 = | 20 ± √400 + 708 |
| -6 |
| x1,2 = | 20 ± √1.108 |
| -6 |
| x1,2 = | 20 ± √2²·277 |
| -6 |
| x1,2 = | 20 ± 2·√277 |
| -6 |
| x1,2 = | 10 ± √277 |
| -3 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
| x₁ = | 10 + √277 |
| -3 |
| x₂ = | 10 - √277 |
| -3 |
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
4·x - 3·y - 1 = 0
| y = | 4·x - 1 |
| 3 |
Luego, reemplazamos los valores de "x" por cada resultado:
| 4· | 10 + √277 | - 1 | |
| y₁ = | -3 | ||
| 3 | |||
| 40 + 4·√277 | - 1 | |
| y₁ = | -3 | |
| 3 | ||
| 40 + 4·√277 - 1·(-3) | |
| y₁ = | -3 |
| 3 |
| y₁ = | 40 + 4·√277 + 3 |
| -9 |
| y₁ = | 43 + 4·√277 |
| -9 |
| 4· | 10 - √277 | - 1 | |
| y₂ = | -3 | ||
| 3 | |||
| 40 - 4·√277 | - 1 | |
| y₂ = | -3 | |
| 3 | ||
| 40 - 4·√277 - 1·(-3) | |
| y₂ = | -3 |
| 3 |
| y₂ = | 40 - 4·√277 + 3 |
| -9 |
| y₂ = | 43 - 4·√277 |
| -9 |
Los puntos de intersección entre la parábola y la recta son:
| P₁( | 10 + √277 | ; | 43 + 4·√277 | ) |
| -3 | -9 |
| P₂( | 10 - √277 | ; | 43 - 4·√277 | ) |
| -3 | -9 |
Aproximadamente: P₁(2,21; 2,62) ∧ P₂(-8,88; -12,17)
Graficamos
- Parábola:
Hallamos la intersección de la parábola con el eje "X" para y = 0, es decir, las raíces:
y = x² + 8·x - 20
0 = x² + 8·x - 20
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = 8
c = -20
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -8 ± √8² - 4·1·(-20) |
| 2·1 |
| x1,2 = | -8 ± √64 + 80 |
| 2 |
| x1,2 = | -8 ± √144 |
| 2 |
| x1,2 = | -8 ± 12 |
| 2 |
x1,2 = -4 ± 6
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de "x":
x₁ = -4 + 6
x₁ = 2
x₂ = -4 - 6
x₂ = -10
El vértice en "X" de la parábola es el punto medio de sus raíces:
| Vₓ = | x₂ + x₁ |
| 2 |
Reemplazamos por los valores y calculamos:
| Vₓ = | -10 + 2 |
| 2 |
| Vₓ = | -8 |
| 2 |
Vₓ = -4
El vértice en "Y" de la parábola se calcula reemplazando a "x" por "Vₓ":
Vy = Vₓ² + 8·Vₓ - 20
Vy = (-4)² + 8·(-4) - 20
Vy = 16 - 32 - 20
Vy = -36
El vértice es:
V = (Vₓ; Vy)
V = (-4; -36)
- Recta:
Despejamos "y" de la ecuación lineal (2):
4·x - 3·y - 1 = 0
| y = | 4·x - 1 |
| 3 |
Separamos en términos:
| y = | 4 | ·x - | 1 |
| 3 | 3 |
La pendiente es:
| m = | 4 |
| 3 |
La ordenada al origen es:
| b = - | 1 |
| 3 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineal y cuadrática