Problema nº 6 de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas - TP04
Enunciado del ejercicio nº 6
¿Para qué valores reales "a" y "b" el siguiente sistema es determinado, indeterminado o incompatible?
3·x + a·y = 8
b·x + 4·y = 2
Solución
Aplicando determinantes, para que el sistema sea compatible determinado, el determinante del sistema debe ser distinto de cero.
Δ ≠ 0
Calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 3 | a |
| b | 4 |
Δ = 3·4 - a·b
Δ = 12 - a·b (1)
Δ = 12 - a·b ≠ 0
12 - a·b ≠ 0
a·b ≠ 12
Respuesta, el sistema es compatible determinado para:
a·b ≠ 12
Para que el sistema sea incompatible se debe cumplir:
Δ = 0 ∧ Δₓ ≠ 0 ∧ Δy ≠ 0
Aplicamos determinantes:
| x = | Δₓ |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
| Δₓ = | 8 | a |
| 2 | 4 |
Δₓ = 8·4 - 2·a
Δₓ = 32 - 2·a (2)
Δₓ = 32 - 2·a ≠ 0
32 - 2·a ≠ 0
2·a ≠ 32
a ≠ 16
| Δy = | 3 | 8 |
| b | 2 |
Δy = 3·2 - 8·b
Δy = 6 - 8·b (3)
Δy = 6 - 8·b ≠ 0
6 - 8·b ≠ 0
8·b ≠ 6
b ≠ ¾
Respuesta, el sistema es incompatible para:
a·b = 12
a ≠ 16
b ≠ ¾
Para que el sistema sea incompatible determinado debe cumplirse:
Δ = 0 ∧ Δₓ = 0 ∧ Δy = 0
De las ecuaciones (1), (2) y (3) tenemos que:
12 - a·b = 0
32 - 2·a = 0
6 - 8·b = 0
Respuesta, el sistema es incompatible determinado para:
a·b = 12
a = 16
b = ¾
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones