Problema nº 1-a de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP05
Enunciado del ejercicio nº 1-a
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
3·x - 4·y = 1
2·x - 3·y = 0
Solución
I) Igualación
3·x - 4·y = 1
2·x - 3·y = 0
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
| y = | 3·x - 1 |
| 4 |
| y = | 2·x |
| 3 |
Igualamos y resolvemos:
| 3·x - 1 | = | 2·x |
| 4 | 3 |
3·(3·x - 1) = 4·2·x
9·x - 3 = 8·x
Despejamos "x":
9·x - 8·x = 3
x = 3
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
| y = | 2·3 |
| 3 |
y = 2
Resultado aplicando el método de igualación:
x = 3
y = 2
II) Sustitución
3·x - 4·y = 1
2·x - 3·y = 0
Despejamos "y" de la segunda ecuación:
| y = | 2·x |
| 3 |
Sustituimos "y" en la primera ecuación:
| 3·x - 4· | 2·x | = 1 |
| 3 |
Resolvemos:
| 3·x - | 8·x | = 1 |
| 3 |
| 3·3·x - 8·x | = 1 |
| 3 |
9·x - 8·x = 3·1
Despejamos "x":
x = 3
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
| y = | 2·3 |
| 3 |
y = 2
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = 3
y = 2
III) Reducción
3·x - 4·y = 1
2·x - 3·y = 0
Multiplicamos la primera ecuación por ⅔ y la restamos a la segunda:
⅔·(3·x - 4·y) = ⅔·1
2·x - 3·y = 0
2·x - 8/3·y = ⅔
2·x - 3·y = 0
-8/3·y + 3·y = ⅔
| -8·y + 3·3·y | = ⅔ |
| 3 |
-8·y + 9·y = 3·⅔
Despejamos "y":
y = 2
Reemplazamos "y" en la primera ecuación y calculamos "x":
3·x - 4·(2) = 1
3·x - 8 = 1
3·x = 1 + 8
3·x = 9
x = 3
Resultado aplicando el método de reducción:
x = 3
y = 2
IV) Determinantes
3·x - 4·y = 1
2·x - 3·y = 0
| x = | Δₓ |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 3 | -4 |
| 2 | -3 |
Δ = 3·(-3) - (-4)·2
Δ = -9 + 8
Δ = -1
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δₓ = | 1 | -4 |
| 0 | -3 |
Δₓ = 1·(-3) - (-4)·0
Δₓ = -3 + 0
Δₓ = -3
| Δy = | 3 | 1 |
| 2 | 0 |
Δy = 3·0 - 1·2
Δy = 0 - 2
Δy = -2
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δₓ |
| Δ |
| x = | -3 |
| -1 |
x = 3
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | -2 |
| -1 |
y = 2
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = 3
y = 2
Resultado, el punto de intersección es:
P(3; 2)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
| y = | 3·x | - | 1 |
| 4 | 4 |
| m₁ = | 3 |
| 4 |
| b₁ = - | 1 |
| 4 |
| y = | 2·x | + 0 |
| 3 |
| m₂ = | 2 |
| 3 |
b₂ = 0
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales