Problema nº 1-c de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP05
Enunciado del ejercicio nº 1-c
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
x + y = 50
x/y = 4
Solución
x + y = 50
x/y = 4
Expresamos la segunda ecuación en forma implícita:
I) Igualación
x + y = 50
x - 4·y = 0
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
y = -x + 50
| y = | x |
| 4 |
Igualamos y resolvemos:
| -x + 50 = | x |
| 4 |
4·(-x + 50) = x
-4·x + 200 = x
Despejamos "x":
-4·x - x = -200
5·x = 200
x = 200/5
x = 40
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
| y = | 40 |
| 4 |
y = 10
Resultado aplicando el método de igualación:
x = 40
y = 10
II) Sustitución
x + y = 50
x - 4·y = 0
Despejamos "y" de la primera ecuación:
y = -x + 50
Sustituimos "y" en la segunda ecuación:
x - 4·y = 0
x - 4·(-x + 50) = 0
Resolvemos:
x + 4·x - 200 = 0
5·x - 200 = 0
Despejamos "x":
5·x = 200
x = 200/5
x = 40
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
40 - 4·y = 0
4·y = 40
y = 40/4
y = 10
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = 40
y = 10
III) Reducción
x + y = 50
x - 4·y = 0
Restamos la segunda ecuación a la primera:
y + 4·y = 50
5·y = 50
Despejamos "y":
y = 50/5
y = 10
Reemplazamos "y" en la primera ecuación y calculamos "x":
x + 10 = 50
x = 50 - 10
x = 40
Resultado aplicando el método de reducción:
x = 40
y = 10
IV) Determinantes
x + y = 50
x - 4·y = 0
| x = | Δₓ |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 1 | 1 |
| 1 | -4 |
Δ = 1·(-4) - 1·1
Δ = -4 - 1
Δ = -5
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δₓ = | 50 | 1 |
| 0 | -4 |
Δₓ = 50·(-4) - 1·0
Δₓ = -200 + 0
Δₓ = -200
| Δy = | 1 | 50 |
| 1 | 0 |
Δy = 1·0 - 50·1
Δy = 0 - 50
Δy = -50
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δₓ |
| Δ |
| x = | -200 |
| -5 |
x = 40
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | -50 |
| -5 |
y = 10
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = 40
y = 10
Resultado, el punto de intersección es:
P(40; 10)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
y = -x + 50
| m₁ = | -1 |
| 1 |
b₁ = 50
| y = | x |
| 4 |
| m₂ = | 1 |
| 4 |
b₂ = 0
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales