Problema nº 1-h de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP05
Enunciado del ejercicio nº 1-h
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
x - 2·y -1 = 0
y - 2·x + 2 = 0
Solución
x - 2·y -1 = 0
y - 2·x + 2 = 0
Acomodamos los término:
I) Igualación
x - 2·y = 1
-2·x + y = -2
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
| y = | x - 1 |
| 2 |
y = 2·x - 2
Igualamos y resolvemos:
| x - 1 | = 2·x - 2 |
| 2 |
x - 1 = 2·(2·x - 2)
x - 1 = 4·x - 4
Despejamos "x":
x - 4·x = 1 - 4
-3·x = -3
x = 1
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
y = 2·(1) - 2
y = 2 - 2
y = 0
Resultado aplicando el método de igualación:
x = 1
y = 0
II) Sustitución
x - 2·y = 1
-2·x + y = -2
Despejamos "y" de la primera ecuación:
| y = | x - 1 |
| 2 |
Sustituimos "y" en la segunda ecuación:
| -2·x + | x - 1 | = -2 |
| 2 |
Resolvemos:
| 2·(-2·x) + x - 1 | = -2 |
| 2 |
-4·x + x - 1 = 2·(-2)
-3·x - 1 = -4
Despejamos "x":
-3·x = 1 - 4
-3·x = -3
x = 1
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
-2·(1) + y = -2
-2 + y = -2
y = 0
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = 1
y = 0
III) Reducción
x - 2·y = 1
-2·x + y = -2
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos las ecuaciones:
2·(x - 2·y) = 2·1
-2·x + y = -2
2·x - 4·y = 2
-2·x + y = -2
-4·y + y = 2 - 2
Despejamos "y":
-3·y = 0
y = 0
Reemplazamos "y" en la segunda ecuación y calculamos "x":
-2·x + 0 = -2
-2·x = -2
x = 1
Resultado aplicando el método de reducción:
x = 1
y = 0
IV) Determinantes
x - 2·y = 1
-2·x + y = -2
| x = | Δₓ |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 1 | -2 |
| -2 | 1 |
Δ = 1·1 - (-2)·(-2)
Δ = 1 - 4
Δ = -3
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δₓ = | 1 | -2 |
| -2 | 1 |
Δₓ = 1·1 - (-2)·(-2)
Δₓ = 1 - 4
Δₓ = -3
| Δy = | 1 | 1 |
| -2 | -2 |
Δy = 1·(-2) - 1·(-2)
Δy = -2 + 2
Δy = 0
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δₓ |
| Δ |
| x = | -3 |
| -3 |
x = 1
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | 0 |
| -3 |
y = 0
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = 1
y = 0
Resultado, el punto de intersección es:
P(1; 0)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
| y = | x - 1 |
| 2 |
| y = | x | - | 1 |
| 2 | 2 |
| m₁ = | 1 |
| 2 |
| b₁ = - | 1 |
| 2 |
y = 2·x - 2
| m₂ = | 2 |
| 1 |
b₂ = -2
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales