Problema nº 1-j de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP05
Enunciado del ejercicio nº 1-j
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
3·y + 8·x - 1 = 0
y = 5 - 2·x
Solución
3·y + 8·x - 1 = 0
y = 5 - 2·x
Expresamos las ecuaciones en forma implícita:
8·x + 3·y = 1
2·x + y = 5
I) Igualación
8·x + 3·y = 1
2·x + y = 5
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
| y = | -8·x + 1 |
| 3 |
y = -2·x + 5
Igualamos y resolvemos:
| -8·x + 1 | = -2·x + 5 |
| 3 |
-8·x + 1 = 3·(-2·x + 5)
-8·x + 1 = -6·x + 15
Despejamos "x":
-8·x + 6·x = 15 - 1
-2·x = 14
x = -7
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
2·(-7) + y = 5
-14 + y = 5
y = 5 + 14
y = 19
Resultado aplicando el método de igualación:
x = -7
y = 19
II) Sustitución
8·x + 3·y = 1
2·x + y = 5
Despejamos "y" de la segunda ecuación:
y = -2·x + 5
Sustituimos "y" en la primera ecuación:
8·x + 3·(-2·x + 5) = 1
Resolvemos:
8·x + 3·(-2·x + 5) = 1
8·x - 6·x + 15 = 1
2·x = 1 - 15
2·x = -14
Despejamos "x":
x = -7
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
2·(-7) + y = 5
-14 + y = 5
y = 5 + 14
y = 19
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = -7
y = 19
III) Reducción
8·x + 3·y = 1
2·x + y = 5
Multiplicamos la segunda ecuación por 4 y la restamos a la primera:
8·x + 3·y = 1
4·(2·x + y) = 4·5
8·x + 3·y = 1
8·x + 4·y = 20
3·y - 4·y = 1 - 20
Despejamos "y":
y = 19
Reemplazamos "y" en la primera ecuación y calculamos "x":
8·x + 3·(19) = 1
8·x + 57 = 1
8·x = 1 - 57
8·x = -56
x = -7
Resultado aplicando el método de reducción:
x = -7
y = 19
IV) Determinantes
8·x + 3·y = 1
2·x + y = 5
| x = | Δₓ |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 8 | 3 |
| 2 | 1 |
Δ = 8·1 - 3·2
Δ = 8 - 6
Δ = 2
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δₓ = | 1 | 3 |
| 5 | 1 |
Δₓ = 1·1 - 3·5
Δₓ = 1 - 15
Δₓ = -14
| Δy = | 8 | 1 |
| 2 | 5 |
Δy = 8·5 - 1·2
Δy = 40 - 2
Δy = 38
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δₓ |
| Δ |
| x = | -14 |
| 2 |
x = -7
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | 38 |
| 2 |
y = 19
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = -7
y = 19
Resultado, el punto de intersección es:
P(-7; 19)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
| y = | -8·x + 1 |
| 3 |
| y = | -8·x | + | 1 |
| 3 | 3 |
| m₁ = - | 8 |
| 3 |
| b₁ = | 1 |
| 3 |
y = -2·x + 5
| m₂ = - | 2 |
| 1 |
b₂ = 5
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales