Producto escalar entre vectores
• Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo ā es el vector a.
Cálculo del producto escalar entre vectores
Puesto que ā·b = |ā|·| b|·cos α, parece sencillo calcular ā·b, pero en la práctica puede resultar complicado conocer el módulo de los vectores y el ángulo que forman.
En general, resulta más sencillo calcular el producto escalar de dos vectores conociendo sus coordenadas respecto de una base y los productos escalares de los vectores que forman dicha base.
Supóngase que se tienen dos vectores x e y que respecto a una base {ŭ₁, ŭ₂} del plano tienen coordenadas (x₁, x₂) e (y₁, y₂), es decir:
x = x₁·ŭ₁ + x₂·ŭ₂
y = y₁·ŭ₁ + y₂·ŭ₂
Además,
ŭ₁·ŭ₁ = a
ŭ₁·ŭ₂ = ŭ₂·ŭ₁ = b
ŭ₂·ŭ₂ = c
El producto escalar de x e y será entonces (se aplican las propiedades distributivas respecto de la suma y de linealidad)
x·y = (x₁·ŭ₁ + x₂·ŭ₂)·(y₁·ŭ₁ + y₂·ŭ₂)
x·y = (x₁·ŭ₁)·(y₁·ŭ₁) + (x₁·ŭ₁)·(y₂·ŭ₂) + (x₂·ŭ₂)·(y₁·ŭ₁) + (x₂·ŭ₂)·(y₂·ŭ₂)
x·y = x₁·y₁·(ŭ₁·ŭ₁) + x₁·y₂·(ŭ₁·ŭ₂) + x₂·y₁·(ŭ₂·ŭ₁) + x₂·y₂·(ŭ₂·ŭ₂)
x·y = x₁·y₁·a + x₁·y₂·b + x₂·y₁·b + x₂·y₂·c
x·y = x₁·y₁·a + (x₁·y₂ + x₂·y₁)·b + x₂·y₂·c
Ejemplo de cálculo del producto escalar de dos vectores
Ejemplo nº 1
Hallar el producto escalar de los vectores ā = 2·ŭ₁ + 3·ŭ₂ y b = 4·ŭ₁ - ŭ₂, donde {ŭ₁, ŭ₂} es una base del plano en la que |ŭ₁| = 2, |ŭ₂| = 1 y ambos vectores, ŭ₁ y ŭ₂, forman un ángulo de 60°.
Solución
ā·b = (2·ŭ₁ + 3·ŭ₂)·(4·ŭ₁ - ŭ₂) = 8·(ŭ₁·ŭ₁) + 10·(ŭ₁·ŭ₂) - 3·(ŭ₂·ŭ₂)
ŭ₁·ŭ₁ = |ŭ₁|² = 4
ŭ₁·ŭ₂ = ŭ₂·ŭ₁ = |ŭ₁|·|ŭ₂|·cos 60° = 2·1·½ = 1
ŭ₂·ŭ₂ = |ŭ₂|² = 1
ā·b = 8·4 + 10·1 - 3·1 = 32 + 10 - 3 = 39
Cálculo del módulo de un vector
Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista para el producto escalar.
Como ā·ā = |ā|², el módulo de ā es:
|ā| = √a·a
Cálculo del ángulo formado por dos vectores
Como ā·b = |ā|·|b|·cos α, despejando se obtiene:
| cos α = | ā·b | = | ā·b |
| |ā|·|b| | √ā·ā·√b·b |
Autor: Patricia Bati. Argentina.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
¿Qué es el producto escalar entre vectores?