Guía nº 9 de ejercicios de integrales superficiales
Resolver los siguientes ejercicios
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Fórmulas aplicables:
∬S F(x)·ds = ∬D F(X(u, v))·(Xᵤ×Xᵥ)·du·dv (Integral de superficie de un campo vectorial)
Problema nº 1
Calcular el flujo saliente del campo (x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.
Si:
F = (x, y, z)
S: x² + y² + z² = 1
• Respuesta: Flujo = 4·π
Problema nº 2
Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través del hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0
Si:
F = (y, x, z²)
S: x² + y² + z² = 1, z ≥ 0
• Respuesta: Flujo = -½·π
Problema nº 3
Calcular el flujo saliente del campo (y, z·x, 1) a través de la esfera (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².
Si:
F = (y, z·x, 1)
S: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Problema nº 4
Calcular el flujo saliente del campo (x² + y²)½·(y, -x, 1) a través de la porción de paraboloide
z = 1 - x² - y², z ≥ 0.
Si:
F = (x² + y²)½·(y, -x, 1)
S: z = 1 - x² - y² ⇒ z = 1 - (x² + y²)
• Respuesta: Flujo = ⅔·π
Problema nº 5
Calcular la integral del campo (x - y, y - z, z - x) sobre la página de la superficie x + y + z = 1, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0, opuesta al origen de coordenadas.
Problema nº 6
Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.
Si:
F = (y - z, z - x, x - y)
S: z² = x² + y² ⇒ z = (x² + y²)½
• Respuesta: Flujo = 0
Problema nº 7
Calcular el flujo saliente del campo (0, x²·z, log z) a través del tronco de cilindro (x - a)² + (y - b)² = R², 1 ≤ z ≤ 2.
Problema nº 8
Calcular la integral del campo (x, y, z) sobre la página de la superficie (u - v, u + v, u·v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2 definida por la parametrización.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Problemas resueltos:
Flujo saliente a través de una superficie