Guía nº 7 de ejercicios resueltos de teoría de probabilidades

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Tema N° 2: Teoría de probabilidades. Variables aleatorias. Distribuciones de probabilidades para variables aleatorias discretas y continuas. Distribución binomial y distribución normal. Uso de tablas.

Problema nº 1

A continuación se muestra una tabla probabilística acerca del nivel de instrucción de productores de una zona y la implementación de nuevas técnicas de cultivo.

¿Son independientes el nivel de instrucción de los productores de esa zona y la implementación de nuevas técnicas de cultivo?

• Respuesta: no son independientes

Problema nº 2

Cierto artículo es inspeccionado visualmente por dos inspectores. Cuando aparece un artículo defectuoso, la probabilidad de que no sea detectado por el primer inspector es igual a 0,1. De aquellos no detectados por el primer inspector, el segundo inspector sólo detecta 5 de cada 10. ¿Qué fracción de defectuosos no son detectados por ninguno de los inspectores?

• Respuesta: P(No1∩No2) = 0,05

Problema nº 3

El 34 % de los árboles de un bosque tienen más de 15 años. El 54 % son de la variedad A. De los de la variedad A, el 7 % tiene más de 15 años. Si se elige un árbol al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 15 años y sea de la variedad A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 15 años, sea de la variedad A?

• Respuesta:

a) P(X > 15∩A) = 0,0378;

b) P(A|X > 15) = 0,1112

Problema nº 4

Se echan dos monedas equilibradas; demuestre que el hecho "cara en la primera moneda" y el hecho "las dos monedas quedan igual" son independientes.

Problema nº 5

Un analista económico está investigando ciertos indicadores de bienestar referidos a un grupo de países que han sido clasificados como "altamente desarrollados", "medianamente desarrollados" y "subdesarrollados". El objetivo del trabajo era analizar cierta cantidad de hogares urbanos, observando si los mismos contaban o no con red cloacal. El 10 % de los hogares analizados pertenecían a países con alto nivel de desarrollo y el 50 % de los hogares, a países medianamente desarrollados. Se pudo determinar que el 60 % de los hogares estudiados poseían red cloacal, pero dicha proporción era notoriamente más alta en los hogares estudiados que provenían de países altamente desarrollados, ya que entre ellos, el 90 % poseía red cloacal. El 80 % de los hogares sin red cloacal provenía de países subdesarrollados. Sobre la base de esta información, hallar:

a) La probabilidad de que un hogar elegido al azar pertenezca a un país altamente desarrollado, pero que no tenga red cloacal;

b) La probabilidad de que un hogar con red cloacal pertenezca a un país subdesarrollado;

c) La probabilidad de que un hogar no pertenezca a un país subdesarrollado o no tenga red cloacal;

• Respuesta:

a) 0,01;

b) 0,13333;

c) 0,92

Problema nº 6

En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1.000 o sufrir una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6, demuestre que la utilidad esperada en dicha operación es de $400.

• Respuesta: $400

Problema nº 7

Sea X una variable aleatoria discreta que sólo toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5 y que tiene la distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla.

a) Calcule P(2)

b) Calcule μ y σ

c) Localice el intervalo [μ - 2·σ; μ + 2·σ] sobre el eje X del histograma

• Respuesta:

a) P(2) = 0,30;

b) μ = 2,15 y σ = 1,2359;

c) [-0,3218; +4,6218]

Problema nº 8

Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una póliza es mayor mientras más contactos realice con clientes potenciales. Si la probabilidad de que una persona compre una póliza de seguro después de la visita, es constante e igual a 0,25, y si el conjunto de visitas constituye un conjunto independiente de ensayos, ¿cuántos compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender por lo menos una póliza sea de 0,80?

• Respuesta: 6 visitas

Problema nº 9

Un plan de control de calidad acepta un lote grande de artículos, si una muestra de siete artículos no produce ninguno defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si ningún artículo del lote es defectuoso? ¿Y si ⅒ son defectuosos? ¿Si ½ son defectuosos?

• Respuesta: π = 0,9; 0,4783; 0,0078

Problema nº 10

La probabilidad de infección con oídio (enfermedad fúngica) en plantas de zapallito redondo en las quintas del cinturón hortícola del Gran Buenos Aires es 0,15. Si usted es contratado por el Ministerio de Asuntos Agrarios de la provincia de Buenos Aires para elaborar un informe acerca del estado de la enfermedad en dicha área y decide visitar 15 quintas, ¿cuál es la probabilidad esperada para los siguientes sucesos:

a) A lo sumo 3 quintas presenten cultivos infectados.

b) Sólo 5 quintas presenten cultivos infectados.

c) Al menos 4 quintas presenten cultivos infectados.

• Respuesta:

a) 0,8225;

b) 0,0449;

c) 0,1775

Problema nº 11

El 40 % de los animales de un rodeo son de raza A y el resto, de raza B. El peso de los animales de la raza A sigue una distribución normal con media 250 kg y varianza 400 kg². El peso de los animales de la raza B sigue una distribución normal con media 270 kg y desvío típico 30 kg. ¿Qué porcentaje de animales tiene peso superior a 240?

• Respuesta: P(X > 240) = 0,78138

Problema nº 12

Un proceso industrial produce tornillos cuyos diámetros tienen una distribución normal con media y desviación estándar iguales a 0,498 y 0,002 respectivamente. Si las especificaciones requieren que el diámetro sea igual a 0,500 ± 0,004 centímetros ¿qué fracción de la población será inaceptable?

• Respuesta: P(Inaceptable) = 0,16

Problema nº 13

Se ha estudiado la variable circunferencia basal (cm) en árboles de 5 años de edad de una especie forestal y se halló que la función de densidad f(c) = -c² + 4·c - (8/3) describía muy ajustadamente las observaciones en muchas poblaciones de la especie (1 ≤ c ≤ 2).

a. Comprobar que f(c) es una función de densidad

b. Si se elige un árbol al azar de una población:

1) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal menor a 1,2 cm?

2) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1,7 cm?

3) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1,2 cm y menor a 1,7 cm?

4) ¿Por qué las probabilidades de los puntos (i), (ii) y (iii) suman 1?

• Respuesta: b) 0,104; 0,391; 0,505

Problema nº 14

Se conoce que la variable frecuencia relativa de abonados en un instante dado en la cola de espera de un servicio en una empresa sigue una distribución cuya función de densidad es f(t) = t² - 2·t + (5/3).

a) Graficar f(t) y verificar que f(t) es una función de densidad.

b) Calcular la media y la variancia de t.

c) Calcular la probabilidad de que en un instante dado haya en la cola de espera al menos un 30 % de abonados.

• Respuesta: b) μ = 0,417 y σ² = 0,0819;

c) P(X > 0,30) = 0,581

Problema nº 15

El diámetro de las tortas de girasol se distribuye normalmente con media 18 cm y desvío típico 6 cm.

a) ¿Qué porcentaje de las tortas tienen un diámetro entre 16 y 21 cm?

b) ¿Cuál es el diámetro superado sólo por el 90 % de las plantas?

c) En una muestra de 10 tortas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar a lo sumo 3 con diámetro inferior a 16 cm?

• Respuesta:

a) 0,3208;

b) x = 10,32;

c) P(n ≤ 3) = 0,4581

Problema nº 16

Sea X una variable aleatoria con distribución binomial y parámetros n = 8 y p = 0,4. Obtener las probabilidades puntuales de los valores de X. Hacer una gráfica de la función de probabilidad.

Problema nº 17

Sea Z una variable aleatoria normal estándar. Hallar el número h tal que Z es:

a) Menor que h con probabilidad 0,7

b) Menor que h con probabilidad 0,25

c) Mayor que h con probabilidad 0,02

d) Mayor que h con probabilidad 0,6

• Respuesta:

a) h = 0,53;

b) h = -0,68;

c) h = +2,60;

d) h = -0,25

Problema nº 18

Una compañía que produce fertilizantes está preocupada por el contenido de impurezas en sus productos granulados. Se estima que el peso de las impurezas por lote se distribuye según una normal con media 12,2 gramos y desviación típica 2,8 gramos. Se elige un lote al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?

• Respuesta:

a) P(z < -0,786) = 0,215;

b) P(z > 1) = 0,1587;

c) P(X < 15) - P(X < 12) = 0,3693

Problema nº 19

Los motores de un avión operan de manera independiente. La probabilidad de que un motor funcione correctamente en un dado viaje es de 0,95. Una aeronave es capaz de completar el trayecto de un viaje de manera exitosa si por lo menos la mitad de sus motores funciona correctamente. En base a esto, determine qué tipo de aeronave tiene mayor probabilidad de completar un viaje exitoso: ¿un tetramotor o un bimotor?

• Respuesta: el bimotor

Autor: Olga Susana Filippini. Argentina.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

Problemas resueltos:

• Problema nº 1 de estadística descriptiva, ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 2 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 3 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 4 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 5 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 6 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 7 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 8 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 9 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 10 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 11 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 12 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 13 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 14 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 15 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 16 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 17 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 18 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07

• Problema nº 19 de estadística descriptiva ocurrencia de un suceso - TP07