Guía nº 1 de ejercicios de integrales dobles (segunda parte)
Resolver los siguientes ejercicios
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Fórmulas aplicables:
Cambio a polares:
x = r·cos θ
y = r·sen θ
dx·dy = r·dθ·dr
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Área:
| A = ½·∫ | β | (r(θ))²·dθ |
| α |
Cambio a curvilíneas:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
dx·dy = |J(u, v)|·du·dv
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv
Problema nº 2
Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:
a)
r = 1 - tg θ; 0 ≤ θ ≤ π/4
• Respuesta:
| A = ½·∫ | π/4 | (1 - tg θ)²·dθ |
| 0 |
b)
r = sen θ + cos θ; 0 ≤ θ ≤ π/2
• Respuesta: A = π/2 + ½
c)
r = (sen θ)·(tg θ); 0 ≤ θ ≤ π/4
• Respuesta:
| A = ½·∫ | π/4 | (sen θ·tg θ)²·dθ |
| 0 |
d)
r = 1/(sen θ)·(cos θ); θ = π/6, θ = π/3
• Respuesta:
| A = ½·∫ | π/3 | ( | 1 sen θ·cos θ | )²·dθ |
| π/6 |
e)
r = θ·log θ; θ = 1, θ = e
• Respuesta:
| A = | 5·e³ | - | 1 |
| 54 | 27 |
f)
r = √sen 2·θ
• Respuesta: A = ½·sen² π/2 - ½·sen² 0 = ½
g)
r = 3 + sen θ; r = 2 + sen θ
• Respuesta: A = 5·π - 1 + 1 = 5·π
h)
r = 1 + cos θ; r = cos θ; 0 ≤ θ ≤ π
• Respuesta: A = ½·π
Problema nº 3
Calcular, mediante un cambio de variables, el área de la elipse:
x²/a² + y²/b² = 1
• Respuesta: A = π·a·b
• Fuente:
"Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Problemas resueltos:
Integrales dobles áreas.