Guía nº 6 de ejercicios de divergencia
Resolver los siguientes ejercicios
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Fórmulas aplicables:
∬∂T F·dS = ∭T div F·dT
Vol T = ∬∂T x·E₁·dS
Vol T = ∬∂T y·E₁·dS
Vol T = ∬∂T z·E₁·dS
Problema nº 1
Calcular:
a)
Calcular el flujo saliente del campo (x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.
• Respuesta: Flujo = 4·π
b)
Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través del hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0.
• Respuesta: Flujo = -π/2
c)
Calcular el flujo saliente del campo (y, z·x, 1) a través de la esfera (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².
• Respuesta: Flujo = 0
d)
Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.
• Respuesta: Flujo = 0
e)
Calcular el flujo saliente del campo (z, x, y) a través del cubo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
• Respuesta: Flujo = 0
f)
Calcular el flujo saliente del campo (x, y, 2·z - x - y) a través del vaso cilíndrico determinado por las superficies:
S₁: x² + y² = 1, 0 ≤ z ≤ 1
S₂: z = 0, x² + y² = 1
Problema nº 2
Calcular:
∬∂T F·dS
Donde F = X = (x, y, z) y T es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas de centro en el origen y radios 1 y 2.
• Respuesta: Flujo = 28·π
Problema nº 3
Calcular el momento de inercia, respecto a su eje de simetría, del siguiente sólido homogéneo T generado por la rotación, alrededor del eje z, del dominio plano yz limitado por los ejes coordenados y por el arco de astroide:
(y, z) = (a·cos³ t, a·sen³ t); 0 ≤ t ≤ π/2, a > 0
El momento de inercia es:
Iz = M/V·∭D (x² + y²)·dx·dy·dz
• Fuente:
"Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Problemas resueltos:
Flujo saliente a través de una superficie