Guía nº 11 de ejercicios de teoremas integrales
Resolver los siguientes ejercicios
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Fórmulas aplicables:
Plano tangente: Z·(Xᵤ·Xᵥ) = X₀·(Xᵤ·Xᵥ)
Recta normal: Z = X₀ + t·(Xᵤ·Xᵥ)
Problema nº 1
Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:
x = u + v
y = 1/u
z = u·v
En correspondencia a u = 1 y v = 0.
• Respuesta: x + y - z = 2; (x, y, z) = (1, 1, 0) + t·(-1, -1, 1)
Problema nº 2
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:
X(u, v) = (u·v,1/v,log (u + v))
En correspondencia a u = 0 y v = 1.
• Respuesta: x = 0
Problema nº 3
Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:
X(u, v) = (2·v·cos u, v·sen u, v²)
En correspondencia a (u, v) = (π/4,1).
• Respuesta: 2; (x, y, z) = (√2, ½·√2, 1) + t·(√2, 2·√2, -2)
Problema nº 4
Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:
X(u, v) = (ev·cos u, ev·sen u, v)
En el punto correspondiente a (u₀, v₀) = (π/2,1).
• Respuesta: y - e·z = 0; (x, y, z) = (0, e, 1) + t·(0, e, -e²)
Problema nº 5
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:
X(u, v) = (u² - 1, u·v, v + 2)
En el punto (0, 2, 0), siempre y cuando el problema esté bien puesto.
• Respuesta: -x + y + z = 2
Problema nº 6
Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:
X(u, v) = (2·cos u·cos v, 2·(sen u)·(cos v), sen v)
En el punto correspondiente a (u₀, v₀) = (π, π/4).
Problema nº 7
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:
X(u, v) = (uv, 2·u·v, u + v)
En el punto (1, -2, 0).
Problema nº 8
Escribir la ecuación de la recta normal a la superficie:
X(u, v) = (u² - v², u + v, 2·u)
En el punto (0, 2, 2).
Problema nº 9
Escribir la ecuación de la recta normal a la superficie:
X(u, v) = (uv, u + v, v - 2·u)
En el punto (1, 1, -2).
Problema nº 10
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:
X(u, v) = (u·sen v, u·cos v, v + 2·u)
En el punto (0, -π, π).
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina