Guía nº 11 de ejercicios resueltos de polinomios. Teorema del Resto, valor numérico y coeficientes
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Problema nº 1
Determinar a, b, c y d para que la expresión:
a·(x + c)³ + b·(x + d)
Sea idéntica al polinomio:
P(x) = x³ + 6·x² + 15·x + 14
Deducir el resultado de las raíces de P(x).
• Respuesta: a = 1; b = 3; c = 2; d = 2
Problema nº 2
Hallar las restantes raíces de los siguientes polinomios y factorizarlos:
a) x³ + x² - 14·x - 24, sabiendo que: -3 es raíz.
b) x⁴ + 3·x³ - 3·x² - 11·x - 6, sabiendo que: -1 es raíz doble.
• Respuesta:
a) x₁ = -3; x₂ = 4; x₃ = -2;
b) x1,2 = -1; x₃ = 2; x₄ = -3
Problema nº 3
Hallar el polinomio de grado mínimo que tiene por raíz triple a -5, por raíz doble a 1, por raíz simple a 2, que es divisible por (x + 1) y tal que P(0) = 25
• Respuesta: P(x) = -⅒·x⁷ - 1,2·x⁶ - 3,1·x⁵ + 8,2·x⁴ + 25,7·x³ - 32·x² - 22,5·x + 25
Problema nº 4
Dados:
P(x) = x⁵ + a·x⁴ + 3·x² - 8·x + b ∧ Q(x) = x³ - 6·x + 2,
Hallar los números reales "a" y "b" de tal forma que "-1" sea raíz del cociente y del resto de la división de P(x) por Q(x).
• Respuesta: a = 7; b = -89
Problema nº 5
Determinar "a" de modo que al dividir P(x) = 2·x¹⁵ - a·x¹³ + 5·x⁸ + 2·a·x⁴ - 6 por x + 1, el resto sea igual a 2.
• Respuesta: a = 5/3
Problema nº 6
Determinar si el polinomio:
P(x) = 2·x¹⁸ + 4·x⁴ + x - 1
Es divisible por:
a) x + 1
b) x - 1
c) x² - 1
• Respuesta:
a) P(x) es divisible por x + 1;
b) P(x) no es divisible por x - 1;
c) P(x) no es divisible por x² - 1
Problema nº 7
Determinar los valores de "a" y "b" que satisfacen la ecuación:
| 5·x + 1 | = | a | + | b |
| x² + x - 6 | x + 3 | x - 2 |
• Respuesta: a = 14/5; b = 11/5
Problema nº 8
Factorizar:
a) x⁴ - 7 =
b) x² - y² + 2·y - 1 =
c) (x + 1)⁴ - (x - 1)² =
| d) ( | x | )⁶ + ( | x | )³ = |
| y | y |
e) P(x) = x⁴ + 2·x³ - 2·x - 1, sabiendo que P(-1) = 0
f) (x² + x)·(x² + x + ¼) + (x + ½)²·(x² - 1) =
• Respuesta:
a) (x - ∜7)·(x + ∜7)·(x² + √7);
b) (x - y + 1)·(x + y - 1);
c) x·(x² + x + 2)·(x + 3);
| d) = | x³·(x² + y³) |
| y⁶ |
e) (x - 1)·(x + 1)³;
f) (x + 1)·(x + ½)²·(2·x - 1)
Problema nº 9
Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones y simplificar si es posible:
| a) | √3² + x² - √3² - x² | = |
| √3² + x² + √3² - x² |
| b) | 3·x² - y | = |
| ∛x²·y³ - x³·y² |
| c) | 1 | = |
| √a - ∛b |
| d) | x + y - √x - y | = |
| x + y + √x - y |
• Respuesta:
| a) | 9 - √81 - x⁴ |
| x² |
| b) | (3·x² - y)·∛[x²·y²·(y - x)]² |
| x²·y²·(y - x) |
c) no se puede racionalizar completamente el denominador;
| d) | x² + 2·x·y + y² + x - y - 2·(x + y)·√x - y |
| x² + 2·x·y + y² - x + y |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina