Guía nº 2 de ejercicios resueltos con números complejos
Resolver los siguientes ejercicios
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Problema nº 1
Hallar el inverso multiplicativo de la unidad real y de la unidad imaginaria.
• Respuesta:
| 1 | = | 1 | - | i |
| Z | 2 | 2 |
Problema nº 2
Calcular "x" e "y" de modo que se satisfagan las siguientes igualdades:
| a) | 3·x + 7·y·i | = | 2·x + 1 + i·(8·y - 12) |
| 4 | 5 |
b) 3·x - 2·y·i = 6·i
| c) | 2·x | + | 3·y | + ( | -x | + | 7·y | )·i = 5 + 6·i |
| a | b | a | b |
| d) | x | + | 2·y·i | = 1 - 2·i |
| 2 | 3 |
• Respuesta:
a) x = 4/7; y = -16;
b) x = 0; y = -3;
c)
| x = | a·b·(-18·a + 35·b) |
| 3·a² + 14·b² |
| y = | a·b·(12·b + 5·a) |
| 3·a² + 14·b² |
d) x = 2; y = -3
Problema nº 3
Hallar el complejo "z" en cada uno de los siguientes casos:
a) 3·(1 + i) + z = -i
b) z = (-i)·(1 + i)
c) z = i·(1 + i)²
d) i·z = (1 + i)·(1 - i)
e) z = (√2 + √3·i)² - √6·i
| f) z = (- | 1 | + | √3·i | )³ |
| 2 | 2 |
• Respuesta:
a) z = -3 - 4·i;
b) z = 1 - I;
c) z = -2;
d) z = -2·i;
e) z = -1 + √6·i;
f) z = 1
Problema nº 4
Determinar los conjugados y opuestos de los siguientes complejos:
a) z = -4
b) z = 2·i
c) z = -⅓ + 4·i
d) z = cos 40° + i·sen 40°
e) z = 2·(cos 135° - i·sen 135°)
f) z = 3·e60°·i
g) z = e⁻45°·i
h) z = -⅙ - i
• Respuesta: a) Z = -4; -Z = 4;
b) Z = -2·i; -Z = -2·i;
c) Z = -⅓ - 4·i; -Z = ⅓ - 4·i;
d) Z = cos 40° - i·sen 40°; -Z = -cos 40° - i·sen 40°;
e) Z = 2·(cos 135° + i·sen 135°); -Z = 2·(-cos 135° + i·sen 135°);
f) Z = 3·(cos 60° - i·sen 60°); -Z = -3·(cos 60° + i·sen 60°);
g) Z = cos 45° + i·sen 45°; Z = -cos 45° + i·sen 45°;
h) Z = -⅙ + i; -Z = ⅙ + i
Problema nº 5
Efectuar las siguientes operaciones:
| a) ( | 2 | + i) + ( | 4 | - | 3·i | ) + ( | 2 | + | i | ) + ( | -28 | - | 3·i | ) = |
| 3 | 3 | 4 | 15 | 4 | 15 | 2 |
b) (√2 - √3·i)·(√2 + √3·i)·(1 + √6·i) =
| c) ( | 5 | ; | 5 | )÷( | 2 | ; | 1 | ) = |
| 2 | 3 | 5 | 2 |
d) (2·√3; 4)² =
e) i2.510 =
f) i⁻³¹⁵ =
• Respuesta:
| a) | 4 | - i |
| 15 |
b) 5 + 5·√6·i
| c) ( | 25 | ; | 10 | ) |
| 4 | 3 |
d) (12; 16)
e) i2.510 = -1
f) i⁻³¹⁵ = i
Problema nº 6
Dados los números complejos:
u = √3 + i
v = -√3 + 3·i
w = 2 - 2·√3·i
Efectuar:
| 2·u - (v² - u) - | v |
| w |
• Respuesta:
| z = | 12 + 11·√3 | + 3·(1 + 2·√3)·i |
| 2 |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Problemas resueltos:
Operaciones con números complejos.