Problemas resueltos de ecuaciones cuadráticas
Resolver los siguientes ejercicios
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Problema nº 1
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:
| a) | x + 2 | = | 3·x - 4 |
| x - 3 | x + 2 |
• Respuesta: x₁ = ½, x₂ = 8
| b) | 2·x - 2 | = | x + 2 |
| x - 3 | x - 4 |
• Respuesta: x₁ = 7, x₂ = 2
| c) | x + 1 | + | x - 3 | = | 5 |
| x + 3 | x - 1 | 4 |
• Respuesta: x₁ = 5, x₂ = -5/3
| d) | x + 1 | + | 3·x | = | 1 |
| (x + 2)² | x + 2 | 4 |
• Respuesta: x₁ = 0, x₂ = -24/11
| e) ( | x + 1 | )² + | x + 1 | - 6 = 0 |
| x - 1 | x - 1 |
• Respuesta: x₁ = 3, x₂ = ½
| f) | 5 | + | 4 | = 1 |
| x + 1 | x - 1 |
• Respuesta: x₁ = 0, x₂ = 9
| g) | x² - 1 | + 5 = | 3 |
| x - 2 | x - 2 |
• Respuesta: x₁ = 2, x₂ = -7
| h) | 3 | + | 2 | = | 1 |
| x - 2 | x - 3 | x - 4 |
• Respuesta:
| x₁ = | 7 + √3 |
| 2 |
| x₂ = | 7 - √3 |
| 2 |
| i) | x | + | 6 | = 6 |
| 6 | x |
• Respuesta: x₁ = 18 + 12·√2, x₂ = 18 - 12·√2
| j) | 6 | + | 2 | = | 3 |
| x - 1 | x - 2 | x - 3 |
• Respuesta: x₁ = 4, x₂ = 9/5
| k) | 4 | + | 1 | + | 3 | = 0 |
| x + 4 | x + 3 | x + 1 |
• Respuesta: x₁ = -2, x₂ = -13/4
| l) | 6 | - | 3 | = | 20 |
| x + 2 | x² - x - 6 | 9 - x² |
• Respuesta: x₁ = 1, x₂ = -23/6
| m) | 4 | + | 2 | = | 7,5 |
| x² - x - 2 | x + 1 | x² - 4 |
• Respuesta: x₁ = 3, x₂ = -5/4
| n) | x² + x + 3 | = | 2·x + 5 |
| x² - x + 3 | 2·x + 7 |
• Respuesta: x₁ = x₂ = -1
| o) | 3·x | = | x + 5 | + | x - 19 |
| 2·x + 1 | x + 1 | 2·x² + 3·x + 1 |
• Respuesta: Las raíces no pertenecen a los reales
| p) | 5·x - 2 | + | 3·x + 2 | = | 5·x | + | 15 |
| 2·x + 2 | 4·x - 4 | x² - 1 | 7 |
• Respuesta: x₁ = 6, x₂ = 17/31
Problema nº 2
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:
a) √x² - 7 = 3
• Respuesta: x₁ = 4, x₂ = -4
b) √x² - 6·x = 4
• Respuesta: x₁ = 8, x₂ = -2
c) √2·x² - 4·x = 4
• Respuesta: x₁ = 4, x₂ = -2
d) √x = x - 6
• Respuesta: x₁ = 9, x₂ = 4
e) √x + 1 = x - 1
• Respuesta: x₁ = 0, x₂ = 3
f) √x + 5 + 7 = x
• Respuesta: x₁ = 11, x₂ = 4
g) √3·x + 6 - x = 2
• Respuesta: x₁ = 1, x₂ = -2
h) √x + 7 + 2·x - 7 = 0
• Respuesta: x₁ = 21/4, x₂ = 2
i) ∛x² + 6·x + 2 = 0
• Respuesta: x₁ = -2, x₂ = -4
j) ∛x² + 20·x - 5 = 0
• Respuesta: x₁ = 10, x₂ = -25
k) √x + 2 - √2·x + 2 + 1 = 0
• Respuesta: x₁ = 7, x₂ = -1
l) √x + 3 - √x - 1 = √2·x + 2
• Respuesta: x₁ = 7, x₂ = -1
m) √5·x - 4 - √x = 2
• Respuesta: x₁ = 4, x₂ = 1
n) √3·x + 1 - √2·x - 1 = 1
• Respuesta: x₁ = 5, x₂ = 1
o) √4·x - 3 + 1 = √2·x - 2
• Respuesta: x₁ = 3, x₂ = 1
p) √x + √3·x + 4 = √4 - x
• Respuesta:
| x₁ = | 2·(3 + √109) |
| 25 |
| x₂ = | 2·(3 - √109) |
| 25 |
q) √3·x - 1 - √8 - x = √9 - 4·x
• Respuesta:
| x₁ = | 9 |
| 4 |
| x₂ = | 1 |
| 3 |
r) √2 - √x - 4 = √12 - x
• Respuesta: x₁ = 13, x₂ = 8
s) √x + 4 = 1 + √2·x - 6
• Respuesta: x₁ = 21, x₂ = 5
t) 3·√x - √2·x + 1 = √2·x
• Respuesta:
| x₁ = | 3 + 2·√2 |
| 3 |
| x₂ = | 3 - 2·√2 |
| 3 |
u) √a + x + √a - x = √2·a
• Respuesta: x₁ = a, x₂ = -a
v) √8·x + a² - √x = √3·x + a²
• Respuesta: x₁ = 0, x₂ = a²
w) √a·x + b - √a·x - b = √3·a·x - b
• Respuesta:
| x₁ = | b |
| a |
| x₂ = - | 5·b |
| 3·a |
x) √2·a + 2·x + √10·a - 6·x = 4·√a
• Respuesta: x₁ = a, x₂ = -a
y) √a - x + √b + x = √2·a + 2·b
• Respuesta:
| x₁ = x₂ = | a - b |
| 2 |
Problema nº 3
Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:
a) x² - 5·x + k = 0
• Respuesta: k = 25/4
b) 3·x² + 8·x + k = 0
• Respuesta: k = 16/3
c) 2·x² - 6·x + k = 0
• Respuesta: k = 9/2
d) 25·x² + k·x + 1 = 0
• Respuesta: k = 10
e) k·x² + k·x + 1 = 0
• Respuesta: k = 4
f) k·x² - 3·x + k = 0
• Respuesta: k = 3/2
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina